Q30

Uma pirâmide reta de base quadrada tem todas as suas arestas iguais a k. Um plano α, perpendicular à base BCDE, corta as arestas laterais AB e AC em seus respectivos pontos médios, P e Q. Determine o volume do sólido BMPQNC.

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

Ver Solução


  • tarzan

    Solução (com conhecimentos de ensino médio)
    1) Dividir o sólido em 2 pirâmides iguais e uma cunha. (Traçar retas perpendiculares à PQ do ponto P e Q ao lado BC para visualizar melhor)
    2) Achar as dimensões de interesse por semelhança e pitágoras.
    3) Algebrismo.

  • Lgustavo

    K.3^0.5/4

  • Lgustavo

    Mas a hipotenusa do triÂngulo formado pelas medianas de PQ,MN e BC não seria metade da altura do triângulo ABC??VAlendo K.3^0.5/2?

  • Dan Luanda

    Caramba Jrog, voce destruiu a questao! Eh isso mesmo, volume do prisma irregular. Com a formula sai redondinha a resposta! Show! 

  • Anônimo

    Eu só sei fazer de um jeito e é o jeito que eu mais confio

    considere:
    -o eixo que passa pelo centro do quadrado BCDE e pelo ponto médio de BC o eixo x;
    -e o eixo que passa pelo centro do quadrado BCDE e pelo ponto A o eixo y.

    Temos o diferencial de Volume igual a:
    dV = Adx, onde A é a área do trapézio.

    Agora temos que achar A em função de x.

    -a reta MN é constante, temos então que MN=k;
    -se x=0 então PQ=0 e se x=k/2 então PQ=k temos então que PQ=2*x;
    -é fácil deduzir que a altura da pirâmide é raiz(2)*k/2, assim se x=0 então h=raiz(2)*k/2 e se x=k/2 então h=0, temos então que h=-raiz(2)*x+raiz(2)*k/2

    A = (MN+PQ)*h/2
    A = (k + 2*x)*(-raiz(2)*x + raiz(2)*k/2)/2
    A = (-raiz(2)*k*x + raiz(2)*k²/2 – 2*raiz(2)*x² + raiz(2)*k*x)/2
    A = (raiz(2)*k²/2 – 2*raiz(2)*x²)/2

    temos então que:
    dV = ((raiz(2)*k²/2 – 2*raiz(2)*x²)/2)*dx
    dV = (raiz(2)/2)*(k²/2 – 2*x²)*dx

    Para acharmos o volume do sólido BMPQNC temos que integrar o diferencial de volume com o limite inferior igual a x=k/4 e limite superior igual a x=k/2.

                          k/2
    V = (raiz(2)/2)*∫(k²/2 – 2*x²)*dx
                          k/4
                                                   k/2
    V = (raiz(2)/2)*(k²*x/2 – (2/3)*x³)
                                                   k/4
    V = (raiz(2)/2)*(k³/4 – k³/12 – k³/8 + k³/96)
    V = (k³*raiz(2)/2)*(24/96 – 8/96 – 12/96 + 1/96)

    V = 5*k³*raiz(2)/192

    (A)

  • Tiago

    O gabarito está certo:
    O volume da pirâmide é (1/3)*Ab*h, sendo Ab a área da base (um quadrado de lado “k”) e h a altura da pirâmide, a qual pode ser obtida por um triângulo retângulo pegando a metade da diagonal da base.
    Fazendo-se este cálculo, encontra-se um volume de 

    Vtotal = (r2/6)*k³ (r2 = raiz quadrada de dois).

    Observando-se que a região indicada é da metade da pirâmide pra baixo, podemos encontrar o volume do tronco de pirâmide que inclui esta região como sendo:

    Vtronco = Vtotal – Vmenor  , sendo:

    Vmenor/Vtotal = (Hmenor/h)³

    onde Hmenor e Vmenor correspondem à altura e ao volume da pirâmide menor, que vai de h/2 até h. Assim: Hmenor = h/2

    deste modo encontra-se Vmenor = (r2/48)*k³

    e o volume do tronco será então: Vtronco = (7*r2/48)*k³

    O volume de metade dessse tronco será então: (7*r2/96)*k³

    Finalmente, subtrai-se o volume de um prisma de altura (k/4) e base constituída de um trapézio de base maior “k” e base menor “k/2″ (lembre-se que, por semelhança de triângulos, se o tronco termina em h/2, então o segmento de reta horizontal tem metade do comprimento do segmento da base da pirâmide). Donde temos: Ab = (3*r2/16)*k³

    Então, esse volume  excedente será dado por: V = (3*r2/64)*k³

    Subtraindo-se o volume de 1/2 tronco deste valor, obtemos o volume desejado, que será dado por:

    ((7*r2/96) – (3*r2/64))*k³ = ((7*2/96*2) – (3*3/64*3))*r2*k³ =(14/192 – 9/192)*r2*k³ =
     = (5/192)*r2*k³   –> Alternativa (A)

    A saída do exercício é ficar fatiando a pirâmide em elementos mais simples e subtrair volumes.

    Espero ter ajudado.

    Abraços.

  • Rpisa

    Confirmo tb, a respota esta em funcao de raiz(3)

  • Luiz Henrique

    Eng Damasio, eu também encontrei os mesmos valores que você, e minha resposta está em função de raiz de 3 e não em função de raiz de 2 como na resposta correta, apenas isso está diferente.

  • Luciofortal

    como você encontrou essa hipotenusa, e esses catetos?

  • Jrog

    O triângulo da seccão transversal não é o PMB. O triângulo da seccão tranversal é o que é determinado por um corte perpendicular a uma das arestas PQ, MN ou BC. Por exemplo, se você faz um corte passando pelas medianas das arestas PQ, MN ou BC, então o triângulo formado tem as medidas que eu explicitei acima.

  • Jrog

    O triângulo da seccão transversal não é o PMB. O triângulo da seccão tranversal é o que é determinado por um corte perpendicular a uma das arestas PQ, MN ou BC. Por exemplo, se você faz um corte passando pelas medianas das arestas PQ, MN ou BC, então o triângulo formado tem as medidas que eu explicitei acima.

  • Jrog

    O triângulo da seccão transversal não é o PMB. O triângulo da seccão tranversal é o que é determinado por um corte perpendicular a uma das arestas PQ, MN ou BC. Por exemplo, se você faz um corte passando pelas medianas das arestas PQ, MN ou BC, então o triângulo formado tem as medidas que eu explicitei acima.

  • Jrog

    O triângulo da seccão transversal não é o PMB. O triângulo da seccão tranversal é o que é determinado por um corte perpendicular a uma das arestas PQ, MN ou BC. Por exemplo, se você faz um corte passando pelas medianas das arestas PQ, MN ou BC, então o triângulo formado tem as medidas que eu explicitei acima.

  • Eng Damasio

    Eu achei o lado PM como k*3^0.5/4 e não a hipotenusa. E o lado PB achei como K/2 já que todas as arestas são k, inclusive AB. Como PB=AB/2… Por pitágoras achei que MB=k/4. Desta forma não encontrei a resposta comom vc. Entendi o desenvolvimento da sua resolução só não entendi como a chegou ao valor da hipotenusa. Pode explicitar, por favor?

  • Eng Damasio

    Eu achei o lado PM como k*3^0.5/4 e não a hipotenusa. E o lado PB achei como K/2 já que todas as arestas são k, inclusive AB. Como PB=AB/2… Por pitágoras achei que MB=k/4. Desta forma não encontrei a resposta comom vc. Entendi o desenvolvimento da sua resolução só não entendi como a chegou ao valor da hipotenusa. Pode explicitar, por favor?

  • Eng Damasio

    Eu achei o lado PM como k*3^0.5/4 e não a hipotenusa. E o lado PB achei como K/2 já que todas as arestas são k, inclusive AB. Como PB=AB/2… Por pitágoras achei que MB=k/4. Desta forma não encontrei a resposta comom vc. Entendi o desenvolvimento da sua resolução só não entendi como a chegou ao valor da hipotenusa. Pode explicitar, por favor?

  • Eng Damasio

    Eu achei o lado PM como k*3^0.5/4 e não a hipotenusa. E o lado PB achei como K/2 já que todas as arestas são k, inclusive AB. Como PB=AB/2… Por pitágoras achei que MB=k/4. Desta forma não encontrei a resposta comom vc. Entendi o desenvolvimento da sua resolução só não entendi como a chegou ao valor da hipotenusa. Pode explicitar, por favor?

  • Eng Damasio

    Eu achei o lado PM como k*3^0.5/4 e não a hipotenusa. E o lado PB achei como K/2 já que todas as arestas são k, inclusive AB. Como PB=AB/2… Por pitágoras achei que MB=k/4. Desta forma não encontrei a resposta comom vc. Entendi o desenvolvimento da sua resolução só não entendi como a chegou ao valor da hipotenusa. Pode explicitar, por favor?

  • Eng Damasio

    Eu achei o lado PM como k*3^0.5/4 e não a hipotenusa. E o lado PB achei como K/2 já que todas as arestas são k, inclusive AB. Como PB=AB/2… Por pitágoras achei que MB=k/4. Desta forma não encontrei a resposta comom vc. Entendi o desenvolvimento da sua resolução só não entendi como a chegou ao valor da hipotenusa. Pode explicitar, por favor?

  • Jrog

    Opa, falha minha, cheguei no valor certo, mas escrevi E, o correto é a A.

  • Eng Damasio

    A resposta certa é “A”ou “E”?

  • Jrog

    Esse volume é um prisma nao regular. A formula do seu volume é:

    V=((PQ+MN+BC)/3)*Area da seccao tranversal

    O triangulo da seccao transversal é reto com hipotenusa k*3^0.5/4, catetos k*2^0.5/4 e k/4. Area da seccao tranversal = k^2*2^0.5/32.

    V= ((5k/2)/3)*k^2*2^0.5/32=5k^3*2^0.5/192

    Letra E

  • Jrog

    Esse volume é um prisma nao regular. A formula do seu volume é:

    V=((PQ+MN+BC)/3)*Area da seccao tranversal

    O triangulo da seccao transversal é reto com hipotenusa k*3^0.5/4, catetos k*2^0.5/4 e k/4. Area da seccao tranversal = k^2*2^0.5/32.

    V= ((5k/2)/3)*k^2*2^0.5/32=5k^3*2^0.5/192

    Letra E

  • Marcelafbsantanna

    cadê a solução?