Q43

Na figura acima, a estrela tem seis vértices sobre a circunferência. Esses vértices dividem a circunferência em seis partes iguais. Se a área do triângulo sombreado mede √3, a área do círculo, na mesma unidade, mede

(A) 2π
(B) 3π
(C) 4π
(D) 8π
(E) 12π

Ver Solução
  • MMartins

    Analisando o desenho vê-se que a altura h do triângulo hachurado vale r/2, e usando as propriedades do triângulo retângulo aplicadas no equilátero tem-se h =√3/2 x L

    e como h = r/2 vem: L =(√3/3) x r, e a área do triângulo hachurado vale St=√3 e sabemos que:

    Área do triângulo: ST = (bxh)/2, então: ST =[(√3/3) x r)x(r/2)]/2 tem-se: r = 2.√3
    Agora calculando a área do círculo vem: SC = π.r² então: SC = π.(2.√3)² => SC =12π

    RESPOSTA: (E)

  • Luiz

    Pra ajudar na visualização, imagine a estrela de Davi inscrita sendo uma flor com as pétalas abertas. Agora feche-as e verá q o raio R é igual a duas vezes a altura da triangulo sombreado. Dessa forma, considerando os triangulos equilateros, fica facil de calcular, como já foi descrito ai nos comentarios, que a Area é igual a 12pi.

  • eng

    quando um triangulo equilátero está dentro do círculo, o centro da circunferência fica localizado a h/3 em relação a base do triangulo.

  • http://www.clubedopetroleo.com.br/ Clube do Petróleo

    Todos estão corretos porém, em uma prova múltipla escolha, principalmente a da Petrobras a qual temos menos de 4 min por questão, sempre é mais inteligente eliminar 4 de 5 ao invés de lutar para achar a resposta correta. Claro que em muitas vezes isso não e possível mas esta é uma das muitas que são. 

    Resposta:
    Perceba que podemos dividir o hexágono em 6 triângulo iguais de área raiz(3). Com isso obtemos 12 triângulo, S(circ) > 12raiz(3). Ligando os vértices dos triângulo formamos mais 6 triângulos cuja área de cada um vale também raiz(3). Porque ela vale raiz(3)? Perceba que esses triângulos possuem 2 lados iguais ao do hachurado e o ângulo entre estes lados vale 120graus. Pela formula da área do triângulo S = ab sen(x) e, sen(60) = sen(120) logo, eles terão áreas iguais.

    S(circ) > 18raiz(3)

    Com isso a única opção não eliminada é a letra E.

  • http://twitter.com/ronaldomoinho Ronaldo Moinho

    Pelo figura percebe-se que o raio da circunferencia é 2H. É só imagnar afastar os triangulos das laterais pro centro da circunferencia e verá que o diâmetro é 4H, logo o raio é 2H .logo precisa-se achar H:
    Temos que Area = BH/2.
    Se usarmos pitágoras, dividimos o triangulo rachurado pela metade e aplicamos:
    B^2 = (B/2)^2 + H^2 ———— com isso tempos que B = H.raiz(4/3)

    subistituindo B na equação da área temos:

    (H^2.raiz(4/3))/2 = raiz(3)
    H^2 = [(2.raiz(3))/(raiz(4/3)]
    multiplica por raiz(3)/raiz(3) temos:

    H^2 = 2 x 3 /2 = 3
    logo H = raiz(3)

    raio = 2 x H = 2raiz(3)

    Area = pi.r^2
    Area = pi.(2raiz(3))^2
    Area = 4x3xpi
    Area = 12pi

    Letra E

  • Daniel

    Como se sabe que r=2h?!!

  • Daniel

    Como se sabe que r=2h?!!

  • Lufo

    Um triângulo equilátero tem lados iguais, logo, b=2*altura/raiz(3). E temos que b*h/2=raiz(3). Duas equações e duas incógnitas, substituindo, temos: h=raiz(3). Se vc verificar r=2*h, logo r=2*raiz(3).
    Espero que eu tenha sido clara.

  • Diasnneto

    A área de um triângulo equilátero é igual a L^2(raiz(3)/4, subst tem se que L=2, ou seja um lado do triângulo grande  mede 6, portanto substituindo na lei dos senos  6/sen60=2*R => R=6/raiz(3) portanto Area Circulo= pi*R^2=12*pi.

  • Epitaciosa

    não entendi como vc (jobson) chegou nesse valor de “h=raiz(3)”. Dpois n entendi como vc relaciona o raio com 2raiz(3). Tentei resolver essa questao pela lei dos senos, mas não esta dando muito certo! :/ brigado

  • Epitaciosa

    não entendi como vc (jobson) chegou nesse valor de “h=raiz(3)”. Dpois n entendi como vc relaciona o raio com 2raiz(3). Tentei resolver essa questao pela lei dos senos, mas não esta dando muito certo! :/ brigado

  • Epitaciosa

    não entendi como vc (jobson) chegou nesse valor de “h=raiz(3)”. Dpois n entendi como vc relaciona o raio com 2raiz(3). Tentei resolver essa questao pela lei dos senos, mas não esta dando muito certo! :/ brigado

  • Epitaciosa

    não entendi como vc (jobson) chegou nesse valor de “h=raiz(3)”. Dpois n entendi como vc relaciona o raio com 2raiz(3). Tentei resolver essa questao pela lei dos senos, mas não esta dando muito certo! :/ brigado

  • Epitaciosa

    não entendi como vc (jobson) chegou nesse valor de “h=raiz(3)”. Dpois n entendi como vc relaciona o raio com 2raiz(3). Tentei resolver essa questao pela lei dos senos, mas não esta dando muito certo! :/ brigado

  • JOBSON BERNARDINO

    O triângulo sombreado tem área raiz(3), sendo a lei que define a área do triangulo: A=(bxh)/2 e como b=2h/raiz(3), obtemos da equação o valor h=raiz(3). Substituindo na formula da área da circunferência A=pi*r*r, r=2raiz(3), temos como resultado: A= pi*12