Q45

A reta de equação 3x – 4y – 12 = 0 determina sobre a circunferência x2 + y2 = 16 uma corda que tem A e B como extremidades. A equação da reta que passa pelo centro da circunferência dada e divide a corda AB ao meio é

(A) y = –3x
(B) 3x – 4y = 0
(C) 3x + 4y = 0
(D) 4x – 3y = 0
(E) 4x + 3y = 0

Ver Solução
  • Maps

    Como descobriu que o ponto médio é (2,-1,5)?

  • Maps

    também fiz assim, mas dá-lhe conta!

  • Eu

    wtf?

  • FCP

     Vale lembrar que qualquer reta que divide uma corda ao meio e passa pelo centro da circunferencia, ou seja equivale ao raio, é sempre perpendicular a essa corda.

  • Eng.Natal

    Você so consegue resolver dessa maneira porque a reta passa pelas 2 extremidades do círculo nos pontos (0,4) e (-4,0). Se isso não ocorresse, você não poderia considerar a nova reta como sendo perpendicular a elas.

  • Jessy

    Como vc chegou em y=-96/25 ???

  • Gustavo

    Analisando a resposta do Daniel Luco, percebi o meu que considerei errado o ponto que divide a corda ao meio.

  • Gustavo

    Analisando a resposta do Daniel Luco, percebi o meu que considerei errado o ponto que divide a corda ao meio.

  • Daniel Luco

    Calculando os pontos que a reta cruza a circunferencia:

    Pela reta 3x-4y-12=0 … x=4y/3+4
    x2+y2=16 … (4y/3+4)2+y2=16 … resolvendo y=0 e y=-96/25

    com y=0 tem-se x=4
    com y=-96/25 tem-se x=-28/25

    Esses sao os dois pontos que a reta cruza a circunferencia.

    O ponto médio entre esses dois pontos é y=(0-96/25)/2 … ymédio=-48/25
    x=(4-28/25)/2 … xmédio=36/25

    logo, a reta tem que passar pelo centro (0,0) e pelo ponto (36/25, -48/25)

    y=ax+b … 0=a.0+b … b=0
    y=ax+b … -48/25=a.36/25 … a=-4/3

    Portanto… y=-4/3x … 3y=-4x … 4x+3y=0

  • Daniel Luco

    Calculando os pontos que a reta cruza a circunferencia:

    Pela reta 3x-4y-12=0 … x=4y/3+4
    x2+y2=16 … (4y/3+4)2+y2=16 … resolvendo y=0 e y=-96/25

    com y=0 tem-se x=4
    com y=-96/25 tem-se x=-28/25

    Esses sao os dois pontos que a reta cruza a circunferencia.

    O ponto médio entre esses dois pontos é y=(0-96/25)/2 … ymédio=-48/25
    x=(4-28/25)/2 … xmédio=36/25

    logo, a reta tem que passar pelo centro (0,0) e pelo ponto (36/25, -48/25)

    y=ax+b … 0=a.0+b … b=0
    y=ax+b … -48/25=a.36/25 … a=-4/3

    Portanto… y=-4/3x … 3y=-4x … 4x+3y=0

  • Daniel Luco

    Calculando os pontos que a reta cruza a circunferencia:

    Pela reta 3x-4y-12=0 … x=4y/3+4
    x2+y2=16 … (4y/3+4)2+y2=16 … resolvendo y=0 e y=-96/25

    com y=0 tem-se x=4
    com y=-96/25 tem-se x=-28/25

    Esses sao os dois pontos que a reta cruza a circunferencia.

    O ponto médio entre esses dois pontos é y=(0-96/25)/2 … ymédio=-48/25
    x=(4-28/25)/2 … xmédio=36/25

    logo, a reta tem que passar pelo centro (0,0) e pelo ponto (36/25, -48/25)

    y=ax+b … 0=a.0+b … b=0
    y=ax+b … -48/25=a.36/25 … a=-4/3

    Portanto… y=-4/3x … 3y=-4x … 4x+3y=0

  • Daniel Luco

    Calculando os pontos que a reta cruza a circunferencia:

    Pela reta 3x-4y-12=0 … x=4y/3+4
    x2+y2=16 … (4y/3+4)2+y2=16 … resolvendo y=0 e y=-96/25

    com y=0 tem-se x=4
    com y=-96/25 tem-se x=-28/25

    Esses sao os dois pontos que a reta cruza a circunferencia.

    O ponto médio entre esses dois pontos é y=(0-96/25)/2 … ymédio=-48/25
    x=(4-28/25)/2 … xmédio=36/25

    logo, a reta tem que passar pelo centro (0,0) e pelo ponto (36/25, -48/25)

    y=ax+b … 0=a.0+b … b=0
    y=ax+b … -48/25=a.36/25 … a=-4/3

    Portanto… y=-4/3x … 3y=-4x … 4x+3y=0

  • Daniel Luco

    Calculando os pontos que a reta cruza a circunferencia:

    Pela reta 3x-4y-12=0 … x=4y/3+4
    x2+y2=16 … (4y/3+4)2+y2=16 … resolvendo y=0 e y=-96/25

    com y=0 tem-se x=4
    com y=-96/25 tem-se x=-28/25

    Esses sao os dois pontos que a reta cruza a circunferencia.

    O ponto médio entre esses dois pontos é y=(0-96/25)/2 … ymédio=-48/25
    x=(4-28/25)/2 … xmédio=36/25

    logo, a reta tem que passar pelo centro (0,0) e pelo ponto (36/25, -48/25)

    y=ax+b … 0=a.0+b … b=0
    y=ax+b … -48/25=a.36/25 … a=-4/3

    Portanto… y=-4/3x … 3y=-4x … 4x+3y=0

  • Daniel Luco

    Calculando os pontos que a reta cruza a circunferencia:

    Pela reta 3x-4y-12=0 … x=4y/3+4
    x2+y2=16 … (4y/3+4)2+y2=16 … resolvendo y=0 e y=-96/25

    com y=0 tem-se x=4
    com y=-96/25 tem-se x=-28/25

    Esses sao os dois pontos que a reta cruza a circunferencia.

    O ponto médio entre esses dois pontos é y=(0-96/25)/2 … ymédio=-48/25
    x=(4-28/25)/2 … xmédio=36/25

    logo, a reta tem que passar pelo centro (0,0) e pelo ponto (36/25, -48/25)

    y=ax+b … 0=a.0+b … b=0
    y=ax+b … -48/25=a.36/25 … a=-4/3

    Portanto… y=-4/3x … 3y=-4x … 4x+3y=0

  • Daniel Luco

    Calculando os pontos que a reta cruza a circunferencia:

    Pela reta 3x-4y-12=0 … x=4y/3+4
    x2+y2=16 … (4y/3+4)2+y2=16 … resolvendo y=0 e y=-96/25

    com y=0 tem-se x=4
    com y=-96/25 tem-se x=-28/25

    Esses sao os dois pontos que a reta cruza a circunferencia.

    O ponto médio entre esses dois pontos é y=(0-96/25)/2 … ymédio=-48/25
    x=(4-28/25)/2 … xmédio=36/25

    logo, a reta tem que passar pelo centro (0,0) e pelo ponto (36/25, -48/25)

    y=ax+b … 0=a.0+b … b=0
    y=ax+b … -48/25=a.36/25 … a=-4/3

    Portanto… y=-4/3x … 3y=-4x … 4x+3y=0

  • Daniel Luco

    Calculando os pontos que a reta cruza a circunferencia:

    Pela reta 3x-4y-12=0 … x=4y/3+4
    x2+y2=16 … (4y/3+4)2+y2=16 … resolvendo y=0 e y=-96/25

    com y=0 tem-se x=4
    com y=-96/25 tem-se x=-28/25

    Esses sao os dois pontos que a reta cruza a circunferencia.

    O ponto médio entre esses dois pontos é y=(0-96/25)/2 … ymédio=-48/25
    x=(4-28/25)/2 … xmédio=36/25

    logo, a reta tem que passar pelo centro (0,0) e pelo ponto (36/25, -48/25)

    y=ax+b … 0=a.0+b … b=0
    y=ax+b … -48/25=a.36/25 … a=-4/3

    Portanto… y=-4/3x … 3y=-4x … 4x+3y=0

  • Daniel Luco

    Calculando os pontos que a reta cruza a circunferencia:

    Pela reta 3x-4y-12=0 … x=4y/3+4
    x2+y2=16 … (4y/3+4)2+y2=16 … resolvendo y=0 e y=-96/25

    com y=0 tem-se x=4
    com y=-96/25 tem-se x=-28/25

    Esses sao os dois pontos que a reta cruza a circunferencia.

    O ponto médio entre esses dois pontos é y=(0-96/25)/2 … ymédio=-48/25
    x=(4-28/25)/2 … xmédio=36/25

    logo, a reta tem que passar pelo centro (0,0) e pelo ponto (36/25, -48/25)

    y=ax+b … 0=a.0+b … b=0
    y=ax+b … -48/25=a.36/25 … a=-4/3

    Portanto… y=-4/3x … 3y=-4x … 4x+3y=0

  • Daniel Luco

    Calculando os pontos que a reta cruza a circunferencia:

    Pela reta 3x-4y-12=0 … x=4y/3+4
    x2+y2=16 … (4y/3+4)2+y2=16 … resolvendo y=0 e y=-96/25

    com y=0 tem-se x=4
    com y=-96/25 tem-se x=-28/25

    Esses sao os dois pontos que a reta cruza a circunferencia.

    O ponto médio entre esses dois pontos é y=(0-96/25)/2 … ymédio=-48/25
    x=(4-28/25)/2 … xmédio=36/25

    logo, a reta tem que passar pelo centro (0,0) e pelo ponto (36/25, -48/25)

    y=ax+b … 0=a.0+b … b=0
    y=ax+b … -48/25=a.36/25 … a=-4/3

    Portanto… y=-4/3x … 3y=-4x … 4x+3y=0

  • Gustavo

    Também cheguei na resposta (C) por outro caminho: desenhando a circunferência e a reta dadas no enunciado e a reta que passa pela origem e no ponto médio da corda AB, podemos resolver a questão por geometria plana. O ponto médio da corda AB é (2, -1,5) portanto a reta que passa pela origem e por esse ponto é reta 3x+4y=0.

  • Andrebacon

    Ele pergunta : A equação da reta que passa pelo centro
    da circunferência dada e divide a corda AB ao meio é?

    Ou seja, divide: no plano cartesiano fazendo os pontos das retas, a que divide ao meio a corda AB é a equação c) 3x+4y=0 .
    Ele não pergunta a reta perpendicular.
    Acho que a resposta do gabarito está errada ou a questão foi mal formulada.

  • Luciofortal

    resposta da 46:

    cosθ =-2/3

    cosθ = u*v / IuI*IvI

    -2/3 = u*v / 3*1

    -6/3 = u*v ==> u*v = -2

    I2u – 3vI² = I2uI² – 2*2u*3v + I3vI²
    I2u – 3vI² = I2uI² – 12u*v + I3vI²
    I2u – 3vI² = 36 +24 + 9
    I2u – 3vI² = 69
    I2u – 3vI = /¨69

  • Marco Bezerra

    Considerando que o avaliador faz a afirmação de que há o cruzamento da reta em dois pontos da circunferência e deseja a equação da reta, basta calcular o coeficiente angular da reta que cruza o centro da circunferência e é perpendicular a reta para a finalização da questão. Segue memória de cálculo abaixo:

    y = (-12 + 3x)/4 = -3+3/4x ==> m1= + 3/4

    Considerando q a reta é perpendicular, teremos:

    M1 x M2 = -1 ==> M2 x (+3/4) = -1 ==> m2 = -4/3

    Como o centro da circunferência encontra no ponto (0,0) e raio 4, teremos finalmente:

    (y-0)=-4/3(x-0) ==> 4x +3y=0 (Resposta correta: E)