Q46

Sejam u e v vetores de R3 cujos módulos são, respectivamente, 3 e 1, e que formam entre si um angulo Θ tal que cos Θ=-2/3. O módulo do vetor 2u – 3v é

(A) 3
(B) √3
(C) √13
(D) √23
(E) √69

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  • Ricardo

    Eu não entendi muito bem essa explicação acima, mas observando a Lei dos Cossenos no Wikipedia (é, pode confiar), temos a² = b² + c² – 2bc*cos@, sendo @ o ângulo entre b e c PARA UM TRIÂNGULO. Pensando em vetores, temos vB e vC com um ângulo @. O outro lado do triangulo é vB – vC (não é a soma, é a subtração, basta desenhar o vetor da subtração em sua posição normal e ver que possui o mesmo tamanho, direção e sentido do lado que falta), então a lei se aplica direto, sem ter que pensar em mudança de sinal, pois temos vB = 2u e vC = 3v e o lado que falta é vB-vC = 2u – 3v. Aplicando diretamente a lei: a² = 6² + 3² – 2*6*3*(-2/3) = 45+24 = 69 … a = sqrt(69).

  • Stefancamargo

    Para esse exercício, o candidato deve ter em mente que:

    |u|= raiz (u.u) Portanto, u.u = |u|²

    e

    cos(teta)= u.v / |u|.|v|
    -2/3 = u.v / 3.1
    u.v = -2

    |2u – 3v| = raiz (2u-3v)²
    =raiz (4.u.u – 2.2.3.u.v +9.v.v)
    =raiz (4.|u|² – 12.u.v + 9.|v|²)
    =raiz (4.3² – 12.(-2) + 9. 1²)
    =raiz (69)

  • Peufreire

    Rafael, fica difícil lhe mostrar sem os desenhos, mas vou tentar te explicar.

    1) No caso geral. Note que tendo os vetores p e q e @ como o ângulo entre eles temos que o módulo de p+q = raiz (p²+q² – 2*p*q*cos (180-@)) = raiz (p²+q² + 2*p*q*cos @). Desenhando os vetores e deslocando de forma a operar a soma de vetores vc verá que o ângulo entre p e q da lei dos cossenos é na verdade 180 – @ e sabemos que cos(180-@) = -cos@.

    2) No caso da questão, vc terá este lance do 180-@ duas vezes. A primeira por ser -3v e a segunda na hora de operar a lei dos cossenos e então ficaremos com raiz 2u – 3v = (u²+v² – 2*u*v*cos @). Note que sua resposta raiz de 21 vem de 45-24, enquanto o certo seria 45+24, logo raiz de 69. Nesta a banca foi bem simpática ao não colocar raiz de 21 como resposta.

  • Opa

    u = (ux, uy, uz)
    v = (vx, vy, vz)

    2u = (2ux, 2uy, 2uz)
    3v = (3vz, 3vy, 2vz)

    |u| = sqrt(ux^2 + uy^2 + uz^2) = 3 => 9 = (ux^2 + uy^2 + uz^2)
    |v| = sqrt(vx^2 + vy^2 + vz^2) = 1 => 1 = (vx^2 + vy^2 + vz^2)

     v.u =  |v||u|cos(q) = 3.1.(-2/2) = -2 = vxux + vyuy + vzuz

    |2u – 3v| = sqrt[(2ux - 3vx)^2 + (2uy - 3vy)^2 + (2uz - 3vz)^2]

        => (2ux – 3vx)^2 =  4uxux – 12vxux + 9 vxvx
        => (2uy – 3vy)^2 =  4uyuy – 12vyuy + 9 vyvy
        => (2ux – 3vx)^2 =  4uzuz – 12vzuz + 9 vzvz
     
        =>  |2u – 3v| = sqrt[4(ux^2 + uy^2 + uz^2) + 9(vx^2 + vy^2 + vz^2) - 12(vxux + vyuy + vzuz)]

    Subst.
        => |2u – 3v| = sqrt[45 - 12(vxux + vyuy + vzuz)]
        => |2u – 3v| = sqrt[45 - 12(-2)]
        => |2u – 3v| = sqrt[69]

  • Rafael

    Só fica um pouco confuso o sinal da Lei dos Cossenos, visto que sendo subtração, teríamos que inverter o sinal do cosseno, já que muda de sentido. Sendo assim seria, no final da conta, 2.3.4.(+2/3), mantendo o sinal de negativo e resposta raiz(21). Onde está meu erro?? Essa besteira às vezes confunde.

  • Cláudio

    Também é possível. para aqueles que gostam de geometria plana, resolver a questão desenhando os vetores 2u e 3v, montando um triangulo qualquer com lados 3.1=3 e 2.3=6 e o angulo entre eles cujo cosseno vale -2/3.O módulo do terceiro lado vale 2u-3v. Conhecendo 2 lados e os angulo entre eles utilizamos a lei dos cossenos:

    2u-3v=raiz(6²+3²-2.3.6.-2/3)=raiz(69)

  • Jrog

    |2u-3v|=raiz(4u.u-2*2*3*u.v+9v.v)=raiz(4*9-12*3*1*-2/3+9*1)=raiz(69)