Q50


A figura ao lado ilustra uma barra de aço homogênea, de peso de intensidade P, e articulada em A sendo elevada vagarosamente para a posição vertical através da tração T no cabo de içamento. A barra possui comprimento L, e o cabo está fixado em um ponto (B), cuja distância ao ponto de articulação é 2L/3. A distância horizontal entre o ponto A e o ponto O de fixação da roldana também é de 2L/3. Assumindo-se que o cabo e a roldana são ideais, de massas desprezíveis e considerando que a barra passa por uma sucessão de estados de equilíbrio, a expressão que representa o valor do módulo da tração no cabo (T) em função de P e do ângulo α de inclinação da barra com a horizontal é

(A) T = Psen(α/2)
(B) T = Psen(2α)
(C) T = (3/4) P sen(α)
(D) T = 3P (sen(α) − 2sec(α))
(E) T = (3/4) P (cosec(α/2) − 2sen(α/2))

Ver Solução
  • Pedro

    Poderíamos criar um grupo no telegram para estudos de petroleo. Chamar o resto do pessoal.

  • Philipe Vasconcelos

    Muito obrigado, Pedro!

  • Pedro

    Por que o braço da força Tx equivale a 2L/3? Fiz o momento em A.

    Onde seriam os eixos de referência?
    O eixo X fiz normal a barra de aço, e o eixo Y perpendicular a ela.

    Você saberia me dizer onde ela está localizada exatamente?
    A Tx está localizada saindo da barra 90 graus no ponto B sentido para o mesmo lado do cabo;
    A força peso Px está no centro de massa da barra sentido contrário.

  • Philipe Vasconcelos

    Por que o braço da força Tx equivale a 2L/3? Onde seriam os eixos de referência? Você saberia me dizer onde ela está localizada exatamente? Obrigado!!

  • Pedro

    O triângulo formado pelos pontos OAB, é isósceles, com 2 lados iguais a 2L/3.
    Com isso, podemos dizer que os ângulos AÔB e A^B^O são iguais. Chamemos de beta, conforme comentários anteriores.
    Temos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180.
    beta + beta + (180 – alfa) = 180.
    beta = alfa / 2

    Somatório de MA = 0 positivo anti-horário.

    - Tx. 2L/3 + Px. L/2 = 0

    cortam os L

    2Tx / 3 = Px / 2

    Tx = 3 Px / 4 eq. I

    Tx = T sen(beta) = T. sen (alfa / 2)

    Px = P. cos (alfa) substituindo na eq. I, temos que:

    T. sen(alfa / 2) = (3 . P cos (alfa)) / 4

    T = (3.P.cos (alfa)) / (4 . sen(alfa / 2)) eq.II

    Da trigonometria, temos que:

    (sen x)^2 = (1 – cos 2x) / 2 ==> cos 2x = 1 – 2(sen x)^2

    2x = alfa, ==> cos (alfa) = 1 – 2 sen (alfa / 2)^2

    Substituindo na eq. II, teremos:

    T = (3.P.(1 – 2 sen (alfa / 2)^2) / (4 . sen(alfa / 2))

    Fazendo as simplificações, teremos:

    T = (3P/4 )( cosec (alfa / 2) – 2 sen(alfa/2) )

  • Yvson Moura

    Essa questão é simples, mas é necessário ter resolvido várias questões relacionadas a equilíbrio de corpos rígidos durante a preparação para o teste.Posicionando T no ponto O, encontramos o somatório dos momentos pela seguinte equação:
    T sen(alfa/2)(2L/3) – P(L/2)cos(alfa) = 0, Logo:
    T = (3/4)(cos(alfa)/sen(alfa/2))

    Agora é só aplicar a correlação cos (alfa)=1-2.sen² (alfa/2) da trigonometria e substituir no lugar do cos(alfa).

    Resposta: T = (3/4)((1 – sen² (alfa/2)) / sen(alfa/2)) = (3/4)(cossec(alfa/2) – 2sen(alfa/2))

  • schmitz83

    A letra B tb dá T=0.

  • Adriano Jorge

    quando alpha = 90, a tração no cabo é zero, logo a letra E é a única que contempla.

  • Japa

    Porquê a barra é articulada. Então cada força irá agir em relação a articulação. Se a barra estivesse solta no espaço, ai sim poderia fazer Px=Tx.

  • ldv

     Entendo que pelo somatorio dos momentos chega-se na relação acima entre P e T, mas por que esta errado dizer que Px=Tx?

  • Dani

    Tem algum motivo para considerar essa referência?
    Geralmente eu faço x paralelo à barra e y perpendicular.

  • Rafaelfll

    Putz, a referência é a articulação… lamento.

  • Rafaelfll

    Putz, a referência é a articulação… lamento.

  • Rafaefll

    Por que o momento de Px é referente a L/2? Não sei se é a hora, mas travou isso…

  • Rafaefll

    Por que o momento de Px é referente a L/2? Não sei se é a hora, mas travou isso…

  • Rafaefll

    Por que o momento de Px é referente a L/2? Não sei se é a hora, mas travou isso…

  • Rafaefll

    Por que o momento de Px é referente a L/2? Não sei se é a hora, mas travou isso…

  • Rafaefll

    Por que o momento de Px é referente a L/2? Não sei se é a hora, mas travou isso…

  • Jpetro

    fale por vc! !!
    ass: leitaozinho petroleiro

  • Alexcandeia

    Complementando o raciocinio do colega jrog, em termos da força necessária para erguer a barra, caso a mesma estivesse na horizontal ( alfa tendendo a zero). A força para levanta-la, deve tender p infinito ( fato observado no cotidiano ), sendo assim, a unica resposta que contempla essa situação é a da letra E.

  • Rafael

    A questão que já era trabalhosa, “sacaneou” ainda mais por ter que no final usar arco metade para procurar uma possível resposta. Na correria de um concurso, muitos achariam que erraram no cálculo e a deixariam para trás.

  • Rafael

    A questão que já era trabalhosa, “sacaneou” ainda mais por ter que no final usar arco metade para procurar uma possível resposta. Na correria de um concurso, muitos achariam que erraram no cálculo e a deixariam para trás.

  • http://www.facebook.com/people/Diogo-Braga/100002282285942 Diogo Braga

    eixo X eh perpendicular a barra e O eixo Y eh paralelo a barra

  • FF

    Qual é a referência para os eixos?? Onde fica o x e o y?

  • FF

    Qual é a referência para os eixos?? Onde fica o x e o y?

  • Jrog

    No caso da letra D a resposta para angulo nulo seria T=3P*(0-2/1)=-6P. No caso da letra E a resposta seria T= (3/4)P*(1/0-2*0), ou seja, nao existe.

  • Arthurbotossi

    como assim jrog, e a letra D. tbm daria solução nesse caso!

  • Arthurbotossi

    como assim jrog, e a letra D. tbm daria solução nesse caso!

  • Jrog

    Essa dava pra acertar sem fazer conta. Imaginem que a barra está na horizontal, nessa condição não há solução para o problema, a única resposta que contempla isto é a E.

  • Cláudio

    Correção:

    No equilíbrio:

    Somatório dos momentos=0
    Px.L/2-Tx.2/3.L=0

    Portanto Px=(4/3).Tx e não Px=Tx como mostrando anteriormente.

    Segue corretamente:

    T=(3/4).P.[cos (alfa)/sen(alfa/2)]   equação (5) até a equação (11) que é a resposta.

  • Cláudio

    Essa é trabalhosa.

    P=peso da barra
    T= tração no cabo
    beta= angulo entre a barra e o cabo

    Tx=T.sen (beta) (1)

    Das propriedades de trigonometria beta=alfa/2

    Portanto:

    Tx=T.sen (alfa/2) (2)

    Px=P.cos (alfa) (3)

    No equilíbrio:

    Tx=Px (4)

    Rearranjando:

    T=(3/4).P.[cos (alfa)/sen(alfa/2)] (5)

    Da propriedade de arco metade

    sen² (alfa/2)=[1-cos (alfa)]/2  (6)

    Logo:

    cos (alfa)=1-2.sen² (alfa/2)   (7)

    Substituindo (7) em (5) :

    T=(3/4).P.[{1-2.sen² (alfa/2)} /sen(alfa/2)]  (8)

    Simplificando:

    T=(3/4).P.[{1/sen(alfa/2)} -2.sen(alfa/2)] (9)

    1/sen(alfa/2)=cossec (alfa/2)  (10)

    T=(3/4).P.[cossec (alfa/2) -2.sen(alfa/2)] (11)  *Resposta

  • Cláudio

    Essa é trabalhosa.

    P=peso da barra
    T= tração no cabo
    beta= angulo entre a barra e o cabo

    Tx=T.sen (beta) (1)

    Das propriedades de trigonometria beta=alfa/2

    Portanto:

    Tx=T.sen (alfa/2) (2)

    Px=P.cos (alfa) (3)

    No equilíbrio:

    Tx=Px (4)

    Rearranjando:

    T=(3/4).P.[cos (alfa)/sen(alfa/2)] (5)

    Da propriedade de arco metade

    sen² (alfa/2)=[1-cos (alfa)]/2  (6)

    Logo:

    cos (alfa)=1-2.sen² (alfa/2)   (7)

    Substituindo (7) em (5) :

    T=(3/4).P.[{1-2.sen² (alfa/2)} /sen(alfa/2)]  (8)

    Simplificando:

    T=(3/4).P.[{1/sen(alfa/2)} -2.sen(alfa/2)] (9)

    1/sen(alfa/2)=cossec (alfa/2)  (10)

    T=(3/4).P.[cossec (alfa/2) -2.sen(alfa/2)] (11)  *Resposta

  • Cláudio

    Essa é trabalhosa.

    P=peso da barra
    T= tração no cabo
    beta= angulo entre a barra e o cabo

    Tx=T.sen (beta) (1)

    Das propriedades de trigonometria beta=alfa/2

    Portanto:

    Tx=T.sen (alfa/2) (2)

    Px=P.cos (alfa) (3)

    No equilíbrio:

    Tx=Px (4)

    Rearranjando:

    T=(3/4).P.[cos (alfa)/sen(alfa/2)] (5)

    Da propriedade de arco metade

    sen² (alfa/2)=[1-cos (alfa)]/2  (6)

    Logo:

    cos (alfa)=1-2.sen² (alfa/2)   (7)

    Substituindo (7) em (5) :

    T=(3/4).P.[{1-2.sen² (alfa/2)} /sen(alfa/2)]  (8)

    Simplificando:

    T=(3/4).P.[{1/sen(alfa/2)} -2.sen(alfa/2)] (9)

    1/sen(alfa/2)=cossec (alfa/2)  (10)

    T=(3/4).P.[cossec (alfa/2) -2.sen(alfa/2)] (11)  *Resposta

  • Cláudio

    Essa é trabalhosa.

    P=peso da barra
    T= tração no cabo
    beta= angulo entre a barra e o cabo

    Tx=T.sen (beta) (1)

    Das propriedades de trigonometria beta=alfa/2

    Portanto:

    Tx=T.sen (alfa/2) (2)

    Px=P.cos (alfa) (3)

    No equilíbrio:

    Tx=Px (4)

    Rearranjando:

    T=(3/4).P.[cos (alfa)/sen(alfa/2)] (5)

    Da propriedade de arco metade

    sen² (alfa/2)=[1-cos (alfa)]/2  (6)

    Logo:

    cos (alfa)=1-2.sen² (alfa/2)   (7)

    Substituindo (7) em (5) :

    T=(3/4).P.[{1-2.sen² (alfa/2)} /sen(alfa/2)]  (8)

    Simplificando:

    T=(3/4).P.[{1/sen(alfa/2)} -2.sen(alfa/2)] (9)

    1/sen(alfa/2)=cossec (alfa/2)  (10)

    T=(3/4).P.[cossec (alfa/2) -2.sen(alfa/2)] (11)  *Resposta

  • Cláudio

    Essa é trabalhosa.

    P=peso da barra
    T= tração no cabo
    beta= angulo entre a barra e o cabo

    Tx=T.sen (beta) (1)

    Das propriedades de trigonometria beta=alfa/2

    Portanto:

    Tx=T.sen (alfa/2) (2)

    Px=P.cos (alfa) (3)

    No equilíbrio:

    Tx=Px (4)

    Rearranjando:

    T=(3/4).P.[cos (alfa)/sen(alfa/2)] (5)

    Da propriedade de arco metade

    sen² (alfa/2)=[1-cos (alfa)]/2  (6)

    Logo:

    cos (alfa)=1-2.sen² (alfa/2)   (7)

    Substituindo (7) em (5) :

    T=(3/4).P.[{1-2.sen² (alfa/2)} /sen(alfa/2)]  (8)

    Simplificando:

    T=(3/4).P.[{1/sen(alfa/2)} -2.sen(alfa/2)] (9)

    1/sen(alfa/2)=cossec (alfa/2)  (10)

    T=(3/4).P.[cossec (alfa/2) -2.sen(alfa/2)] (11)  *Resposta

  • Cláudio

    Essa é trabalhosa.

    P=peso da barra
    T= tração no cabo
    beta= angulo entre a barra e o cabo

    Tx=T.sen (beta) (1)

    Das propriedades de trigonometria beta=alfa/2

    Portanto:

    Tx=T.sen (alfa/2) (2)

    Px=P.cos (alfa) (3)

    No equilíbrio:

    Tx=Px (4)

    Rearranjando:

    T=(3/4).P.[cos (alfa)/sen(alfa/2)] (5)

    Da propriedade de arco metade

    sen² (alfa/2)=[1-cos (alfa)]/2  (6)

    Logo:

    cos (alfa)=1-2.sen² (alfa/2)   (7)

    Substituindo (7) em (5) :

    T=(3/4).P.[{1-2.sen² (alfa/2)} /sen(alfa/2)]  (8)

    Simplificando:

    T=(3/4).P.[{1/sen(alfa/2)} -2.sen(alfa/2)] (9)

    1/sen(alfa/2)=cossec (alfa/2)  (10)

    T=(3/4).P.[cossec (alfa/2) -2.sen(alfa/2)] (11)  *Resposta

  • Cláudio

    Essa é trabalhosa.

    P=peso da barra
    T= tração no cabo
    beta= angulo entre a barra e o cabo

    Tx=T.sen (beta) (1)

    Das propriedades de trigonometria beta=alfa/2

    Portanto:

    Tx=T.sen (alfa/2) (2)

    Px=P.cos (alfa) (3)

    No equilíbrio:

    Tx=Px (4)

    Rearranjando:

    T=(3/4).P.[cos (alfa)/sen(alfa/2)] (5)

    Da propriedade de arco metade

    sen² (alfa/2)=[1-cos (alfa)]/2  (6)

    Logo:

    cos (alfa)=1-2.sen² (alfa/2)   (7)

    Substituindo (7) em (5) :

    T=(3/4).P.[{1-2.sen² (alfa/2)} /sen(alfa/2)]  (8)

    Simplificando:

    T=(3/4).P.[{1/sen(alfa/2)} -2.sen(alfa/2)] (9)

    1/sen(alfa/2)=cossec (alfa/2)  (10)

    T=(3/4).P.[cossec (alfa/2) -2.sen(alfa/2)] (11)  *Resposta