Q51

Uma viga homogênea apresenta seção transversal na forma de um triângulo retângulo de catetos a e b, onde a = b/2, conforme ilustra a figura acima. O ponto G representa o baricentro do triângulo, por onde passam os eixos ortogonais x e y. Também estão representados o eixo x’, paralelo a x, e o eixo y’, paralelo a y, que passam pelo vértice formado pelos dois catetos. Os momentos de inércia de área dessa seção, em relação aos eixos x, y, x’e y’, são denominados por Ix , Iy , Ix’ , Iy’, respectivamente. Nessa perspectiva, verifica-se a seguinte relação:

(A) Ix < Ix’ < Iy < Iy’
(B) Ix > Ix’ > Iy > Iy’
(C) Ix = Ix’ < Iy = Iy’
(D) Ix < Iy < Ix’ < Iy’
(E) Ix = Iy < Ix’ = Iy’

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  • Luiz

    Não entendi como vc eliminou as letras b, c e d de cara. Não fez muito sentido pra mim.. Teria como explicar? vlw

  • Maria Carolina

    Podemos resolvê-la por eliminação. Primeiro: o baricentro representa o centro de gravidade do triângulo. Quanto mais próximo dele menor é o momento de inércia. Logo letras b, c, d eliminadas. Restam a e e. A letra e não pode se pois o triângulo não é equilátero. Logo letra A!!!!!!!

  • Pedro Menchik

    Gente, cuidado, tem muitos comentários aqui que estão confundindo momento de inércia (escalar, dado por integral de r^2 dm) com torque (vetor, dado por r x F). O momento de inércia mede a distribuição da massa de um corpo em relação ao seu centro de gravidade e não a tendência de girar. E o que a questão pede é outra coisa ainda: momento de inércia de área (escalar, dado pela itegral dupla de r^2dA), que represta mais ou menos a rigidez do corpo em relação à flexão; ou seja, em relação à capacidade de “dobrar” as pontas do triângulo no exemplo dado

  • Giovsena

    oi marcelo, mas isto ainda não ajuda relacionar Iy com Ix’, porque, com esta resolução sua ainda são possíveis as letras A e D.  A sua resolução mostra que o Ix é o menor de todos, e o Iy’ é o maior de todos, mas ainda falta a questão de quem tá no meio. Eu gosto mais de soluções qualitativas do q quantitativas tb, rs, mas infelizmente ficou incompleta. Vc consegue continuar seu racioncínio a ponto de excluir a D? 

  • Juju

    Marcelo, se o Momento= Distancia x Forca, temos que: Momento/Distância = Força.. desta forma, quanto maior a distância, menor o momento –> maior facilidade em realizar o movimento! (ao contrário do que vc postou). Isto explica porque fechar uma porta a partir da fechadura é mais fácil do que fechar a partir de um ponto qualquer entre a dobradiça e a fechadura!

  • André F

    Valeu Bruno!

  • André F

    Valeu Bruno!

  • André F

    Valeu Bruno!

  • André F

    Valeu Bruno!

  • André F

    Valeu Bruno!

  • André F

    Valeu Bruno!

  • Bruno_rodrigo7

    De forma simples temos que o momento de inercia de um triangulo é dado por: I = (b*h^3)/36, sabemos pelo problema que b=2a. Vamos começar encontrando Ix’ que será igual a base b(que podemos subatituir por 2a) multiplicada pela altura “a”elevado ao cubo dividido por 36. Ou seja Ix’=2a*a^3/36, arrumando temos Ix’ = a^4/18. Pela definição do baricentro o ponto G fica a 1/3 de “a” e 1/3 de “b” logo Ix será 1/3 de Ix’ isto é:  Ix = (1/3)*a^4/18.

    Agora fazemos o mesmo para Iy’, nesse caso como o eixo de referencia agora éo y’ temos que a base será “a” e a altura será 2a, logo Iy’ = a*(2a)^3/36, Iy’ = 8a^4/36; Iy’ = 4a^4/18 e Iy será 1/3 de Iy’, portanto Iy= 4/3a^4/18.

    resumindo temos:

    Ix’ = a^4/18
    Ix = (1/3)*a^4/18
    Iy’= 4a^4/18
    Iy= 4/3a^4/18

    chamando o termo comum a^4/18 de A temos

    Ix’ = A

    Ix = A/3

    Iy’= 4A

    Iy= 4A/3                           Ix<Ix'<Iy<Iy'.          Letra A.

  • KTR

    Exato, minha dúvida também é com relaçao a A e D, ou seja, como encontrar a relação entreo Ix e Iy

  • KTR

    Exato, minha dúvida também é com relaçao a A e D, ou seja, como encontrar a relação entreo Ix e Iy

  • dmsousa

    O problema que ninguém soube responder com uma analise simples é porque Ix’<Iy. Essa é a diferença entre as letras A e D. Alguém saberia explicar de forma sucinta?

  • dmsousa

    O problema que ninguém soube responder com uma analise simples é porque Ix’<Iy. Essa é a diferença entre as letras A e D. Alguém saberia explicar de forma sucinta?

  • Vitico

    O loco, desculpa gente, mas esse site tá com muitos problemas, olha como ficou minha pergunta! Foi mal… e a pergunta era sobre como garantir que a alternativa D está errada, sendo que ela também obedece a tudo que o marcelo analisou qualitativamente?

  • Vitico

    O loco, desculpa gente, mas esse site tá com muitos problemas, olha como ficou minha pergunta! Foi mal… e a pergunta era sobre como garantir que a alternativa D está errada, sendo que ela também obedece a tudo que o marcelo analisou qualitativamente?

  • Vitico

    Sua análise qualitativa é muito boa e mais apropriada para o concurso, para o candidato não perder tempo na questão. Porém, a alternativa D também obedece a tudo o que você falou, mas a diferença entra a D e a A é que na D Iy<Ix', e na A Ix'<Iy. Observe que é um comparação entre momento de inércia em relação a baricentro (Iy), com o momento de inércia em relação a eixo paralelo (Ix'), porém se trata de eixos perpendiculares. Como garantir, qualitativamente, que Ix' é de fato menor que Iy?

  • Vitico

    Sua análise qualitativa é muito boa e mais apropriada para o concurso, para o candidato não perder tempo na questão. Porém, a alternativa D também obedece a tudo o que você falou, mas a diferença entra a D e a A é que na D Iy<Ix', e na A Ix'<Iy. Observe que é um comparação entre momento de inércia em relação a baricentro (Iy), com o momento de inércia em relação a eixo paralelo (Ix'), porém se trata de eixos perpendiculares. Como garantir, qualitativamente, que Ix' é de fato menor que Iy?

  • Vitico

    Sua análise qualitativa é muito boa e mais apropriada para o concurso, para o candidato não perder tempo na questão. Porém, a alternativa D também obedece a tudo o que você falou, mas a diferença entra a D e a A é que na D Iy<Ix', e na A Ix'<Iy. Observe que é um comparação entre momento de inércia em relação a baricentro (Iy), com o momento de inércia em relação a eixo paralelo (Ix'), porém se trata de eixos perpendiculares. Como garantir, qualitativamente, que Ix' é de fato menor que Iy?

  • Vitico

    Sua análise qualitativa é muito boa e mais apropriada para o concurso, para o candidato não perder tempo na questão. Porém, a alternativa D também obedece a tudo o que você falou, mas a diferença entra a D e a A é que na D Iy<Ix', e na A Ix'<Iy. Observe que é um comparação entre momento de inércia em relação a baricentro (Iy), com o momento de inércia em relação a eixo paralelo (Ix'), porém se trata de eixos perpendiculares. Como garantir, qualitativamente, que Ix' é de fato menor que Iy?

  • Vitico

    Sua análise qualitativa é muito boa e mais apropriada para o concurso, para o candidato não perder tempo na questão. Porém, a alternativa D também obedece a tudo o que você falou, mas a diferença entra a D e a A é que na D Iy<Ix', e na A Ix'<Iy. Observe que é um comparação entre momento de inércia em relação a baricentro (Iy), com o momento de inércia em relação a eixo paralelo (Ix'), porém se trata de eixos perpendiculares. Como garantir, qualitativamente, que Ix' é de fato menor que Iy?

  • Marcelo D Pimentel

    Para comparar Ix com Iy, usamos a propriedade de que o baricentro de qualquer triângulo está a 1/3 de distância da base em relação à altura da mesma base. Sendo assim, a distância de G está a b/3 da base que mede a, e está a a/3 da base que mede b. Como b é maior que a, b/3 também vai ser maior que a/3, e, portanto, Iy>Ix.

  • Marcelo D Pimentel

    Outra solução mais rápida (qualitativa):
    Momento = Distância x Força.
    O momento de inércia em relação à um referido eixo representa “a dificuldade” para se girar o corpo ao redor do mesmo, considerando a sua massa uniformemente distribuída. Sendo assim, quanto mais distante estiver o ponto de referência sobre o qual se deseja girar o corpo, maior será o seu momento de inércia.
    Logo, Ix<Ix' e Iya, e Iy’ é maior que Ix’. Portanto, a resposta final seria Ix<Ix'<Iy<Iy'. Altern A.

  • Marcelo D Pimentel

    Outra solução mais rápida (qualitativa):
    Momento = Distância x Força.
    O momento de inércia em relação à um referido eixo representa “a dificuldade” para se girar o corpo ao redor do mesmo, considerando a sua massa uniformemente distribuída. Sendo assim, quanto mais distante estiver o ponto de referência sobre o qual se deseja girar o corpo, maior será o seu momento de inércia.
    Logo, Ix<Ix' e Iya, e Iy’ é maior que Ix’. Portanto, a resposta final seria Ix<Ix'<Iy<Iy'. Altern A.

  • Caiovive

    Cara,usa o teorema dos eixos paralelos .   Ix’=Ix +Ad^2

  • DD

    ja entendi! obrigado

  • DD

    Pq Ix’ e Iy’ são iguais a bh³/12 ? Não seriam também bh³/36 ?

  • DD

    Pq Ix’ e Iy’ são iguais a bh³/12 ? Não seriam também bh³/36 ?

  • http://www.facebook.com/luciooliveirafilho Lucio Santolli

    Partindo do conceito de momento de Inércia do Triângulo num plano x, y. Em relação ao seu centro de gravidade (baricentro)num plano xg e yg;
    Ix=bh³/12
    Ixg=bh³/36
    Iy=hb³/12
    Iyg=hb³/36

    associando ao problema:
    Ix=Ix’
    Iy=Iy’
    Ixg=Ix
    Iyg=Iy
    a=h=b/2
    b=2a

    Temos:
    Ix’=2a.a³/12; 2a^4/12; (a^4/6)
    Ix=2a.a³/36; 2a^4/36; (1/3).(a^4/6) 
    Iy’=a.(2a)³/12; 8a^4/12; 4.(a^4/6)
    Iy=a.(2a)³/36; 8a^4/36; (4/3).(a^4/6)

    como todos os termos tem seu valor multiplicado por (a^4/6) então isolaremos somente estes termos, sendo assim:

    Ix’=1
    Ix=1/3
    Iy’=4
    Iy=4/3

    Logo; Ix<Ix'<Iy<Iy'.

    GABARITO LETRA (A).