Q33

Uma matriz quadrada A, de ordem 2, é tal que a soma dos elementos de cada linha e de cada coluna é igual a 3. Considere as afirmativas abaixo.

I- (1, 1) é necessariamente um autovetor de A.
II- 3 é necessariamente um autovalor de A.
III- (1, 0) é necessariamente um autovetor de A.

Está correto o que se afirma em
(A) I, apenas.
(B) II, apenas.
(C) III, apenas.
(D) I e II, apenas.
(E) I, II e III.

Ver Solução


  • ABC

    Você tem razão, para v(1,0) tem solução, mas apenas para o caso da matriz [ 3 0]
    [0 3],
    Ou seja, seria um autovetor apenas para essa matriz, e na afirmativa diz que “necessariamente” seria um autovetor, ou seja, teria de ser um autovetor para todas a matrizes possíveis.

  • LI

    Ei,
    por que 1,0 não serve? Daria certo caso a=3…

  • Anônimo

    Eu solucionei isso de uma maneira bem mais rápida, não demorou nem cinco minutos. É só entender o conceito de auto-valor e auto-vetores. Um autovetor é aquele que, ao sofrer uma transformação linear, continua tendo a mesma direção, ou seja, fica igual ao original, multiplicado por uma constante (que é chamada de autovalor).

    Então, se A=[a b]   
                     [c d]

    e

                 x = [1]
                       [1]

    então Ax será [a+b]
                        [c+d]

    que é igual a [3]
                      [3]

    que por sua vez é igual a 3x. Ou seja, [1 1] é um autovetor, cujo autovalor correspondente é 3. Só aí já mata as afirmações I e II. A III é a mesma coisa, mas chega-se a conclusão que Ax não é necessariamente um múltiplo de x.

  • KTR

    Aproveitando toda a teoria mostrada pelo LuisinhoCosta:

    Matriz A :   a   b
                    c   d

    a + b = 3
    a + c = 3
    Então c = b

    a + c = 3
    c + d = 3
    Então a = d

    Portando, matriz A:  a   b
                                b   a

    E também b = 3 – a.

    Seja λ um autovalor de A, v um autovetor de A [ v = (v1 , v2) ] e I a matriz identidade.

    Para encontrar os autovalores, podemos fazer det(λ*I - A) = 0 , que é a função característica de A.

    Temos então (λ – a )^2 – (3 – a)^2 = 0

    Segundo afirmação II, λ = 3 é necessariamente um autovalor de A. Se substituirmos λ = 3 na equação, podemos ver que o resultado é realmente 0 (zero), independente de a. Portanto, afirmação II é verdadeira.

    Também temos que (λ*I – A)*v = 0, ou seja

     λ – a  ;  -(a – 3)        v1
                             *          =   0
     -(a – 3)  ;  λ – a        v2

    Fazendo a multiplicação:

    (λ – a)*v1 – (a – 3)*v2 = 0  e -(a – 3)*v1 + (λ – a)*v2 = 0

    Como vimos que λ = 3 necessariamente é um autovetor, se substituirmos λ por 3 e admitir que (1,1) seja nosso vetor (v1, v2) vemos que o resultado é realmente 0 (zero), independente de a. Portanto, (1,1) são autovetores de A e a afirmação I é verdadeira.

    A mesma análise pode ser feita para a afirmação III, se substituirmos (1,0) na equação a igualdade deixa de ser verdadeira, e portanto esse vetor não é necessariamente um autovetor de A.

    Resposta D

  • KTR

    Aproveitando toda a teoria mostrada pelo LuisinhoCosta:

    Matriz A :   a   b
                    c   d

    a + b = 3
    a + c = 3
    Então c = b

    a + c = 3
    c + d = 3
    Então a = d

    Portando, matriz A:  a   b
                                b   a

    E também b = 3 – a.

    Seja λ um autovalor de A, v um autovetor de A [ v = (v1 , v2) ] e I a matriz identidade.

    Para encontrar os autovalores, podemos fazer det(λ*I - A) = 0 , que é a função característica de A.

    Temos então (λ – a )^2 – (3 – a)^2 = 0

    Segundo afirmação II, λ = 3 é necessariamente um autovalor de A. Se substituirmos λ = 3 na equação, podemos ver que o resultado é realmente 0 (zero), independente de a. Portanto, afirmação II é verdadeira.

    Também temos que (λ*I – A)*v = 0, ou seja

     λ – a  ;  -(a – 3)        v1
                             *          =   0
     -(a – 3)  ;  λ – a        v2

    Fazendo a multiplicação:

    (λ – a)*v1 – (a – 3)*v2 = 0  e -(a – 3)*v1 + (λ – a)*v2 = 0

    Como vimos que λ = 3 necessariamente é um autovetor, se substituirmos λ por 3 e admitir que (1,1) seja nosso vetor (v1, v2) vemos que o resultado é realmente 0 (zero), independente de a. Portanto, (1,1) são autovetores de A e a afirmação I é verdadeira.

    A mesma análise pode ser feita para a afirmação III, se substituirmos (1,0) na equação a igualdade deixa de ser verdadeira, e portanto esse vetor não é necessariamente um autovetor de A.

    Resposta D

  • KTR

    Aproveitando toda a teoria mostrada pelo LuisinhoCosta:

    Matriz A :   a   b
                    c   d

    a + b = 3
    a + c = 3
    Então c = b

    a + c = 3
    c + d = 3
    Então a = d

    Portando, matriz A:  a   b
                                b   a

    E também b = 3 – a.

    Seja λ um autovalor de A, v um autovetor de A [ v = (v1 , v2) ] e I a matriz identidade.

    Para encontrar os autovalores, podemos fazer det(λ*I - A) = 0 , que é a função característica de A.

    Temos então (λ – a )^2 – (3 – a)^2 = 0

    Segundo afirmação II, λ = 3 é necessariamente um autovalor de A. Se substituirmos λ = 3 na equação, podemos ver que o resultado é realmente 0 (zero), independente de a. Portanto, afirmação II é verdadeira.

    Também temos que (λ*I – A)*v = 0, ou seja

     λ – a  ;  -(a – 3)        v1
                             *          =   0
     -(a – 3)  ;  λ – a        v2

    Fazendo a multiplicação:

    (λ – a)*v1 – (a – 3)*v2 = 0  e -(a – 3)*v1 + (λ – a)*v2 = 0

    Como vimos que λ = 3 necessariamente é um autovetor, se substituirmos λ por 3 e admitir que (1,1) seja nosso vetor (v1, v2) vemos que o resultado é realmente 0 (zero), independente de a. Portanto, (1,1) são autovetores de A e a afirmação I é verdadeira.

    A mesma análise pode ser feita para a afirmação III, se substituirmos (1,0) na equação a igualdade deixa de ser verdadeira, e portanto esse vetor não é necessariamente um autovetor de A.

    Resposta D

  • KTR

    Aproveitando toda a teoria mostrada pelo LuisinhoCosta:

    Matriz A :   a   b
                    c   d

    a + b = 3
    a + c = 3
    Então c = b

    a + c = 3
    c + d = 3
    Então a = d

    Portando, matriz A:  a   b
                                b   a

    E também b = 3 – a.

    Seja λ um autovalor de A, v um autovetor de A [ v = (v1 , v2) ] e I a matriz identidade.

    Para encontrar os autovalores, podemos fazer det(λ*I - A) = 0 , que é a função característica de A.

    Temos então (λ – a )^2 – (3 – a)^2 = 0

    Segundo afirmação II, λ = 3 é necessariamente um autovalor de A. Se substituirmos λ = 3 na equação, podemos ver que o resultado é realmente 0 (zero), independente de a. Portanto, afirmação II é verdadeira.

    Também temos que (λ*I – A)*v = 0, ou seja

     λ – a  ;  -(a – 3)        v1
                             *          =   0
     -(a – 3)  ;  λ – a        v2

    Fazendo a multiplicação:

    (λ – a)*v1 – (a – 3)*v2 = 0  e -(a – 3)*v1 + (λ – a)*v2 = 0

    Como vimos que λ = 3 necessariamente é um autovetor, se substituirmos λ por 3 e admitir que (1,1) seja nosso vetor (v1, v2) vemos que o resultado é realmente 0 (zero), independente de a. Portanto, (1,1) são autovetores de A e a afirmação I é verdadeira.

    A mesma análise pode ser feita para a afirmação III, se substituirmos (1,0) na equação a igualdade deixa de ser verdadeira, e portanto esse vetor não é necessariamente um autovetor de A.

    Resposta D

  • KTR

    Aproveitando toda a teoria mostrada pelo LuisinhoCosta:

    Matriz A :   a   b
                    c   d

    a + b = 3
    a + c = 3
    Então c = b

    a + c = 3
    c + d = 3
    Então a = d

    Portando, matriz A:  a   b
                                b   a

    E também b = 3 – a.

    Seja λ um autovalor de A, v um autovetor de A [ v = (v1 , v2) ] e I a matriz identidade.

    Para encontrar os autovalores, podemos fazer det(λ*I - A) = 0 , que é a função característica de A.

    Temos então (λ – a )^2 – (3 – a)^2 = 0

    Segundo afirmação II, λ = 3 é necessariamente um autovalor de A. Se substituirmos λ = 3 na equação, podemos ver que o resultado é realmente 0 (zero), independente de a. Portanto, afirmação II é verdadeira.

    Também temos que (λ*I – A)*v = 0, ou seja

     λ – a  ;  -(a – 3)        v1
                             *          =   0
     -(a – 3)  ;  λ – a        v2

    Fazendo a multiplicação:

    (λ – a)*v1 – (a – 3)*v2 = 0  e -(a – 3)*v1 + (λ – a)*v2 = 0

    Como vimos que λ = 3 necessariamente é um autovetor, se substituirmos λ por 3 e admitir que (1,1) seja nosso vetor (v1, v2) vemos que o resultado é realmente 0 (zero), independente de a. Portanto, (1,1) são autovetores de A e a afirmação I é verdadeira.

    A mesma análise pode ser feita para a afirmação III, se substituirmos (1,0) na equação a igualdade deixa de ser verdadeira, e portanto esse vetor não é necessariamente um autovetor de A.

    Resposta D

  • KTR

    Aproveitando toda a teoria mostrada pelo LuisinhoCosta:

    Matriz A :   a   b
                    c   d

    a + b = 3
    a + c = 3
    Então c = b

    a + c = 3
    c + d = 3
    Então a = d

    Portando, matriz A:  a   b
                                b   a

    E também b = 3 – a.

    Seja λ um autovalor de A, v um autovetor de A [ v = (v1 , v2) ] e I a matriz identidade.

    Para encontrar os autovalores, podemos fazer det(λ*I - A) = 0 , que é a função característica de A.

    Temos então (λ – a )^2 – (3 – a)^2 = 0

    Segundo afirmação II, λ = 3 é necessariamente um autovalor de A. Se substituirmos λ = 3 na equação, podemos ver que o resultado é realmente 0 (zero), independente de a. Portanto, afirmação II é verdadeira.

    Também temos que (λ*I – A)*v = 0, ou seja

     λ – a  ;  -(a – 3)        v1
                             *          =   0
     -(a – 3)  ;  λ – a        v2

    Fazendo a multiplicação:

    (λ – a)*v1 – (a – 3)*v2 = 0  e -(a – 3)*v1 + (λ – a)*v2 = 0

    Como vimos que λ = 3 necessariamente é um autovetor, se substituirmos λ por 3 e admitir que (1,1) seja nosso vetor (v1, v2) vemos que o resultado é realmente 0 (zero), independente de a. Portanto, (1,1) são autovetores de A e a afirmação I é verdadeira.

    A mesma análise pode ser feita para a afirmação III, se substituirmos (1,0) na equação a igualdade deixa de ser verdadeira, e portanto esse vetor não é necessariamente um autovetor de A.

    Resposta D

  • Vivien Rossbach

    RESOLUÇÃO

    1 – ENCONTRAR A MATRIZ

    Pode ser A = (1 2) (2 1) ou A = (2 1) (1 2)

    Vamos calcular usando a primeira opção:

    y = autovalor que se deseja encontrar
    I = matriz identidade 2×2
    A = matriz (1 2) (2 1)

    (yI – A) = 0 com X diferente de zero

    Teorema: det(yI-A) = 0 calcular este determinante

    Da resolução do determinante acima, resulta a equação y^2 – 2y – 3 = 0 cuja

    solução é y1 = 3 e y2 = -1 (ESTES SÃO OS AUTOVALORES ENCONTRADOS)

    2 – ENCONTRAR O AUTOVETOR ASSOCIADO A CADA UM DOS AUTOVALORES ACIMA

    Fazer X(y1*I – A) = 0 e X(y2*I – A) = 0. Encontrar o vetor que zera cada uma das equações. Este vetor será o autovetor associado.

  • Gustavo

    Luisinho, vc poderia me explicar um pouco melhor as passagens:

    |a b| -> |a-x b| -> (a-x)^2-b^2=0 -> x1=a+b=3 II (V)
    |b a| |b a-x| x2=a-b

    [b]- Por que você colocou ‘a-x’ e como chegou aos valores de x1 = a + b e x2 = a – b?[/b]

    p/ x=x1=a+b
    |-b b|
    |b -b| autovetor (1,1) I (V)

    [b]- Por que você igualou x1 a zero para achar a = -b ? Como você tirou a conclusão por essa matriz que (1,1) é autovetor? Dessa forma não seria (-1,1) ?[/b]

    p/ x=x2=a-b
    |b b|
    |b b| autovetor (1,-1) III (F)

    [b]- O autovetor aqui não seria (1,1)? ou seja, estão invertidos x1 e x2 ?[/b]

  • uou

    cara…… que bagunça… chegou um ponto em que parece q vc inventou coisas pra chegar no resultado do gabarito…..

  • LuisinhoCosta

    Autovalores e autovetores

    Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

    Introdução / definição |
    Alguns exemplos |
    Cálculo de autovalores e autovetores |

    Introdução / definição (Topo pág | Fim pág)

    Autovalores e autovetores são conceitos importantes de matemática, com aplicações práticas em áreas diversificadas como mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística, etc (na língua inglesa, os termos usuais são eigenvalue e eigenvector. Nesses nomes, há uma combinação de idiomas, pois o prefixo eigen é alemão, significando próprio, característico).

    Graficamente a idéia básica pode ser vista de uma forma bastante simples. Seja uma imagem formada por um retângulo com 2 vetores segundo (a) da Figura 01. Essa imagem sofre uma ampliação (transformação) apenas na horizontal, resultando no retângulo (b). Nessa condição, o vetor v2 passou a v2′, que não tem a mesma direção do original v2. Portanto, o vetor v2′ não pode ser representado por v2 multiplicado por um escalar.

    Mas o vetor v1′ tem a mesma direção de v1 e, por isso, pode ser representado por v1 multiplicado por um escalar. Diz-se então que v1 é um autovetor da transformação e que esse escalar é um autovalor associado.

    Fig 01

    Na definição matemática, consideram-se transformações lineares:

    T:V → V, onde V é um espaço vetorial qualquer.

    Um vetor não nulo v em V é dito um autovetor de T se existe um número real λ tal que

    T(v) = λ v #A.1#

    O escalar λ é denominado um autovalor de T associado a v. Pode-se concluir que v e T(v) são paralelos.

    Alguns exemplos (Topo pág | Fim pág)

    Seja uma transformação que faz uma reflexão em relação ao eixo horizontal em um espaço bidimensional real. Em termos de coordenadas essa transformação é escrita na forma:

    T(x, y) = (x, −y) #A.1#

    No exemplo da Figura 01, são indicados os vetores

    a = (2, 0).
    b = (0, 1).
    c = (−2, 1).

    Fig 01

    Então a é um autovetor de autovalor 1 porque

    T(a) = (2, 0) = a

    Também b é um autovetor de autovalor −1 porque T(b) = (0, −1) = − b.

    Mas c não é autovetor porque T(c) = (−2, −1) não é paralelo a c.

    Observa-se que 1 e −1 são os autovalores da transformação e são associados a quaisquer vetores nas formas (x, 0) e (0, y) respectivamente.

    Seja agora uma transformação que gira de 90º para esquerda.

    T(x, y) = (−y, x) #B.1#

    Fig 02

    Essa transformação não admite autovetores nem autovalores reais. Qualquer T(a) é perpendicular a a e, portanto, não pode existir um número real que, multiplicado por a, resulte em T(a). Ver Figura 02.

    Cálculo de autovalores e autovetores (Topo pág | Fim pág)

    Seja A a matriz da transformação T:V → V. A matriz A deve ser, portanto, uma matriz quadrada (n x n). Conforme já visto, para um autovalor λ e um autovetor v,

    T(v) = λ v. De outra forma,

    A v = λ v #A.1#

    Considerando I a matriz unitária (ou matriz identidade), pode-se escrever λ v = λ I v. Substituindo na anterior e reagrupando,

    λ I v − A v = 0. De outra forma,

    (λ I − A) v = 0 #B.1#

    Seja a função:

    f(λ) = det (λ I − A) #C.1#

    Ela é denominada função característica da matriz A.

    Para solução não nula de #B.1#, deve-se ter o determinante nulo:

    det (λ I − A) = 0 #D.1#

    Resolvendo a equação acima, obtém-se os valores de λ que, substituídos em #A.1#, permitem a determinação dos autovetores.

    Exemplo: são dados:

    • matriz 3×3 A, para a qual se deseja calcular os autovalores.

    • λ I, que é o produto do escalar λ pela matriz unitária I 3×3.

    A matriz da diferença λ I − A é

    O seu determinante é calculado pelas relações a seguir.

    det (λ I − A) = (λ − 2) [ (λ − 3) (λ + 2) − (1) (−4) ] − (−1) [ (−2) (λ + 2) − (1) (−4) ] + (−1) [ (−2) (1) − (1) (λ − 3) ].

    det (λ I − A) = [ (λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 4λ − 8 ] + [−2λ ] − [−λ − 1].

    det (λ I − A) = (λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 3 (λ − 3).

    det (λ I − A) = (λ − 3) [ (λ − 2) (λ + 2) + 3 ].

    det (λ I − A) = (λ − 3) [ λ2 − 4 + 3 ] = (λ − 3) [ λ2 − 1 ].

    Expandindo o último termo e igualando a zero conforme #D.1#,

    det (λ I − A) = (λ − 3) (λ + 1) (λ − 1) = 0.

    As soluções dessa equação do terceiro grau são claramente:

    λ = 1
    λ = −1
    λ = 3
    Aplica-se agora a igualdade #A.1# para o valor de λ = 1.

    Essa relação matricial pode ser transformada em um sistema de equações lineares através do desenvolvimento do produto das matrizes e posterior simplificação.

    Somando a primeira com a terceira equação, v3 = 0. Substituindo nas demais, chega-se ao resultado

    v1 + v2 = 0

    Ou

    v1 = − v2

    Há infinitas soluções e pode-se dizer que o vetor é dado por v = α (1, −1, 0) onde α é um escalar não nulo qualquer. Portanto, para o autovalor λ = 1, os autovetores são da forma:

    α (1, −1, 0) com α ≠ 0.

    Procedimento idêntico pode ser usado para os demais valores de λ.

  • LuisinhoCosta

    |a b|
    |c d|

    a+b=3 -> b=3-a
    b+d=3 -> 3-a+d=3 -> d=a

    a+b=3 -> a=3-b
    a+c=3 -> 3-b+c=3 -> b=c

    |a b| -> |a-x b| -> (a-x)^2-b^2=0 -> x1=a+b=3 II (V)
    |b a| |b a-x| x2=a-b

    p/ x=x1=a+b
    |-b b|
    |b -b| autovetor (1,1) I (V)

    p/ x=x2=a-b
    |b b|
    |b b| autovetor (1,-1) III (F)