Q4

A imagem do quadrado Q, representado acima na figura à esquerda, por uma transformação linear T: R2→R2 é o losango L representado na figura à direita. Dentre as matrizes abaixo, aquela que pode representar T com respeito à base canônica de R2 é

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  • victor coelho

    Penso da seguinte maneira:

    em Q podemos imaginar os vetores da base euclidiana (1,0) e (0,1) e em L supomos 2 vetores pensando na simetria do losango (1, 1/2) e (-1, 1/2). Ambos “saindo” do ponto (0,0)

    Na transformação temos:

    [1 0] [x y] = [1 -1]

    [0 1] [z w] [1/2 1/2]

    (multiplicação de matrizes)

    Logo de cara, percebe-se que a primeira é a matriz identidade e toda multiplicação pela identidade resulta nela mesma. Portanto matriz xyzw =
    [1 -1]
    [1/2 1/2]

  • Mpoltrlonieri

    T(x,y)=x*T(1,0)+y*T(0,1)
    T(x,y)=x*(1,1/2)+y*(-1,1/2)
    T(x,y)=(x,x/2) + (-y,y/2)
    T(x,y)=(x-y,1/2(x+y) logo A= [1         -1
                                                 [1/2   1/2]

  • Luiz

    Rotação + Contração no eixo Y + Dilatação no eixo X

  • Anônimo

    É uma rotação + um escalonamento no eixo y.

  • tsc

    está muito claro que isso não é uma rotação!

  • Vivien Rossbach

    SOLUÇÃO POR ANÁLISE DO GRÁFICO

    Eis uma “solução-peão” para a questão 4:

    O quadrado Q é formado por 2 vetores e sua resultante. Estes dois vetores são:

    Q1 (1,0)
    Q2 (0,1)

    Analisando as duas figuras, verifica-se que o losango T é uma transformação típica para o quadrado Q: trata-se de uma rotação em sentido anti-horário. Então, faça assim:

    Vetor Q1 (1,0)

    Em Q1, x=1. Em T, rotacionado fica na posição x=1 (não muda)
    y=0. Em T, rotacionado fica na posição y=1/2

    Em Q2, x=0. Em T, rotacionado fica na posição x=-1
    y=1. Em T, rotacionado fica na posição y=1/2

    Logo, a matriz canônica resultante é [(1,1/2) (-1,1/2)] letra A

  • Tad M

    Uma transformação linear T está perfeitamente definida quando são conhecidas as imagens dos vetores da base canônica do domínio de T e, nesse caso, as imagens dos vetores da base canônica são, respectivamente, as colunas da matriz canônica de T. O vetor imagem é (1, 1/2) e (1/2, 1) que forma a matriz com 1° linha [ 1 1/2] e 2° linha [1/2 1], cuja transformação T é representada pela letra A.