Q52

A transformação linear T: R3→R3 associa a cada vetor u de R3 o produto vetorial a × u, onde a = (1, 0, 1).  A matriz de T, com respeito à base canônica de R3, é

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  • Maria carolina

    Concordo!

  • lucianobillotta

    No livro do Anton Rorres de Álgebra Linear na página 151 é dito que: Se T é uma transformação linear e e1, e2, e3 …en são vetores da base canónica de R^n, então:

    [T] = [T(e1)|T(e2)|T(e3| ... |T(en)]

    é a matriz canônica de T.

    Em outras palavras, pegue os vetores canônicos e o resultado da transformação coloque em colunas que será a Matriz Canônica que você quer.

  • Asdasd

    Muito facil essa questão

  • dmsousa

     Amigo, vc precisa estudar produto vetorial.

  • Claudio_fasolin

    O seu raciocínio está totalmente correto colega, com excessão da
    colocação dos vetores. Na verdade é uma questão de notação, alguns
    autores colocam os vetores na horizontal, mas o autor (“Seymour
    Lipschutz”) – Algebra Linear- Coleção Schaum – coloca os vetores na
    vertical, que é o livro mais didático de algebra linear que já li. E
    pelo visto os elaboradores das questões também utilizam essa notação. Por isso o gabarito aponta a resposta “A” e não a “E” que é a matriz transposta da matriz da letra A.

  • Claudio_fasolin

    O seu raciocínio está totalmente correto colega, com excessão da
    colocação dos vetores. Na verdade é uma questão de notação, alguns
    autores colocam os vetores na horizontal, mas o autor (“Seymour
    Lipschutz”) – Algebra Linear- Coleção Schaum – coloca os vetores na
    vertical, que é o livro mais didático de algebra linear que já li. E
    pelo visto os elaboradores das questões também utilizam essa notação. Por isso o gabarito aponta a resposta “A” e não a “E” que é a matriz transposta da matriz da letra A.

  • Engenheira

    Muito didático! Mas vc se confundiu apenas no sinal do vetor, que é representado por V= ix+jy+kz (com a setinha em cima de cada um).

  • Engenheira

    Muito didático! Mas vc se confundiu apenas no sinal do vetor, que é representado por V= ix+jy+kz (com a setinha em cima de cada um).

  • Satanás

    me alegra ter burros como você concorrendo à prova

  • Satanás

    me alegra ter burros como você concorrendo à prova

  • Jameshirose

    Não entendi como v fez a conta a x u1 = (1,0,1) x (1,0,0) foi resultar em (0,1,0) ; a x u2 = (1,0,1) x (0,1,0) = (-1,0,1) ; a x u3 = (1,0,1) x (0,0,1) = (0,-1,0). V poderia me demonstrar como foi realizada tal multiplicação? 

  • Jameshirose

    Não entendi como v fez a conta a x u1 = (1,0,1) x (1,0,0) foi resultar em (0,1,0) ; a x u2 = (1,0,1) x (0,1,0) = (-1,0,1) ; a x u3 = (1,0,1) x (0,0,1) = (0,-1,0). V poderia me demonstrar como foi realizada tal multiplicação? 

  • Jameshirose

    Não entendi como v fez a conta a x u1 = (1,0,1) x (1,0,0) foi resultar em (0,1,0) ; a x u2 = (1,0,1) x (0,1,0) = (-1,0,1) ; a x u3 = (1,0,1) x (0,0,1) = (0,-1,0). V poderia me demonstrar como foi realizada tal multiplicação? 

  • Jobson Bernardino

    Solução:

    Temos o produto vetorial (a x u), queremos encontrar a matriz T em relação a base canônica de R3, ou seja, queremos encontrar a matriz mudança de base, que leva de R3 para R3, sendo assim precisamos fazer os produtos vetoriais com a base canônica u1=(1,0,0), u2=(0,1,0) e u3=(0,0,1).
    Ficando assim o produto vetorial:
    i j k
    w1= 1 0 1 = (0,1,0)
    1 0 0

    i j k
    w2= 1 0 1 = (-1,0,1)
    0 1 0

    i j k
    w3= 1 0 1 = (0,-1,0)
    0 0 1

    Organizando a matriz de mudança de base(vetores em colunas), temos:

    0 -1 0
    [T]= 1 0 -1
    0 1 0

    RESPOSTA: LETRA A)

  • Jobson Bernardino

    Solução:

    Temos o produto vetorial (a x u), queremos encontrar a matriz T em relação a base canônica de R3, ou seja, queremos encontrar a matriz mudança de base, que leva de R3 para R3, sendo assim precisamos fazer os produtos vetoriais com a base canônica u1=(1,0,0), u2=(0,1,0) e u3=(0,0,1).
    Ficando assim o produto vetorial:
    i j k
    w1= 1 0 1 = (0,1,0)
    1 0 0

    i j k
    w2= 1 0 1 = (-1,0,1)
    0 1 0

    i j k
    w3= 1 0 1 = (0,-1,0)
    0 0 1

    Organizando a matriz de mudança de base(vetores em colunas), temos:

    0 -1 0
    [T]= 1 0 -1
    0 1 0

    RESPOSTA: LETRA A)

  • Jrog

    Uma tranformação linear é dada pelo produto de uma matriz T por um vetor u, para isso você coloca as coordenadas do vetor em uma coluna, não é o vetor que está em coluna, mas somente suas coordenadas, não tem ligação com a representação matemática. Por exemplo, para fazer mudança de base, multiplica-se a matriz de mudança pelas coordenadas em coluna do vetor a ser transformado.

  • Vivien Rossbach

    Até concordo com você, mas, se for dessa forma, teriam que anular a questão 4 e a questão 52…

  • Eliltonedwards

    Caros estudantes;

    Sobre a forma de demonstrar os vetores e comentários de Colnagowjt.

    Não se coloca um vetor em COLUNAS, pois essa não é a forma correta de representá-lo. Sabe-se da

    Álgebra [1] que um vetor é representado por: V=xi+yj+zk (com seta sobre todos eles). Dessa forma a

    resposta não pode ser a letra (A) em que o resultado esta representado na forma COLUNAS porque

    essa forma é ERRADA. Essa forma não é uma representação de uma base canônica.

    Forma CORRETA: V=2i + 3j + 4k ou V=(2i, 3j, 4k)

    Forma ERRADA:
    [2i]
    V= [3J]
    [4k]

    Referência:

    [1] Geometria Análitica – Alfredo STEINBRUCH

  • Vivien Rossbach

    Sim, ele tá certo em colocar os vetores encontrados pelo Edwards como colunas. Na resolução da Q4 dá pra ver que os vetores tb estão em colunas.

  • Colnagowjt

    |-y |”””|0 -1 0|””’|x|
    |x-z| = |1 0 -1| . |y|
    | y |”””’|0 1 0|”””’|z|

  • Colnagowjt

    |- y | |0 -1 0| |x|
    |x – z| = |1 0 -1| . |y|
    | y | |0 1 0| |z|

  • Colnagowjt

    não tem jeito mesmo!

  • Colnagowjt

    função de transformação:

    F(x, y, z) = (-y, x – z, y)

    permita-me tentar melhorar a aparência do sistema

    |- y | |0 -1 0| |x|
    |x – z| = |1 0 -1| . |y|
    | y | |0 1 0| |z|

  • Colnagowjt

    os vetores encontrados foram colocados nas colunas 1, 2 e 3. Mas para saber por que eles são postos assim, você tem que saber mais de álgebra linear. Se fosse explicar isso, tomaria mais espaço.
    Um abraço!

  • Glcezario.cb

    o colna ali ta certo. Ele colocou os vetores encontrados como colunas, o qual é o jeito correto de se mostrar a base canonica

  • Eliltonedwards

    Colega, você encontrou um resultado mas deu como resposta outro. Veja que seus resultados de V1, V2 e V3 são diferentes do resultado que você colocou e disse que é a letra (A). Veja meus cálculos.

    Até

  • Eliltonedwards

    Bom, vamos aos cálculos.

    Para que possamos resolver esse exercício temos que lembrar de cálculo com matrizes, então veja um esquema abaixo:

    - Sejam os versores i, j e k (lembre-se que sobre os versores há uma flecha, não dá para colocar aqui.)

    [ i j k ]
    [ a b c ] = i* [b.f - e.c] – j* [a.f - d.c ] + k * [ a.e - d.b]
    [ d e f ]

    Vamos seguir o esquema acima para resolver o exercício:

    O produto vetorial de axu é dado por:

    (eq.1) (1,0,1) x (1,0,0)
    (eq.2) (1,0,1) x (0,1,0)
    (eq.3) (1,0,1) x (0,0,1)

    Obs: Coloquei eq. apenas para identificar os vetores no cálculo, claro que isso não é equação.

    Calculo de eq.1 (substitua os dados da eq.1 na fórmula acima)

    [ i j k ]
    [ 1 0 1 ] = i.[0-0] – j.[0-1] + k.[0-0] = (0,1,0)
    [ 1 0 0 ]

    Cálculo da eq.2 (substitua os valores na fórmula acima)

    [ i j k ]
    [ 1 0 1 ] = i.[0-1] – j[0-0] + k[1-0] = (-1,0,1)
    [ 0 1 0 ]

    Cálculo da eq.3 (substitua os valores na fórmula acima)

    [ i j k ]
    [ 1 0 1 ] = i.[0-0] – j.[1-0] k.[0-0] = (0,-1,0)
    [ 0 0 1 ]

    Colocando todos os resultados numa outra matriz temos:

    [0 1 0]
    [-1 0 1]
    [0 -1 0]

    Resposta (E).

    Observação: No gabarito o resultado esta como resposta (A) no entanto todos os cálculos mostram que o resultado é a letra (E).

  • Colnagowjt

    axu (u é a base canônica)

    a vetorial (i) ou ax(1, 0, 0) = j ou v1 = (0, 1, 0)
    a vetorial (j) ou ax(0, 1, 0) = -i + k ou v2 = (-1, 0, 1)
    a vetorial (k) ou ax(0, 0, 1) = -j ou v3 = (0, -1, 0)

    agora é só colocar v1, v2, v3 nas colunas de uma matriz 3×3
    ou seja, a matriz de transformação é:

    0 -1 0
    1 0 -1
    0 1 0

    resposta (A) <<<