Q61

A imagem de uma transformação linear T: R6→R3 é o espaço gerado pelos vetores (1, 0, 1), (0, 1, 0) e (1, -1, 1).
A dimensão do núcleo de T é
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
(E) 0

Ver Solução


  • lucianobillotta

    Vamos lá:

    No livro do Anton Rorres – Álgebra Linear 8ª pág. 265:
    “Seja T: V -> W uma transformação linear. A dimensão da imagem de T é chamada o posto de T, que nós denotamos por pos(T). A dimensão do núcleo de T é chamada a nulidade de T, que nós denotamos por nul(T).”

    Portanto como a transformação é de R^6 a R^3 a matriz de transformação teria 3 linhas (m) x 6 colunas (n).

    A imagem dessa transformação gera a imagem dos vetores, portanto precisamos saber o posto da imagem.

    Coloca se os vetores em colunas:
    | 1 0 1 |
    | 0 1 -1|
    | 1 0 1|

    O posto é calculado manipulando as linhas e chegando a um líder em cada linha o que vai dar:
    |1 0 1|
    |0 1 -1| = portanto o pos(Imagem) = 2 = -> pela definição é a dimensão da T.

    |0 0 0 |

    Por outra definição sabe-se que n = pos(T) + nul(T).

    Portanto a dimensão do núcleo é: nul(T) = n – pos(T)

    nul(T) = 6 – 2 = 4.

  • eng

    Vc pode demonstrar como chegou na imagem? Obrigada.

  • Victor Sales

    Sempre lembre desta fórmula:

    DIM (N) + DIM (Eg) = DIM (Ed)

    DIM (N) – Dimensão do núcleo
    DIM (Eg) – Dimensão do espaço gerado
    DIM (Ed) – Dimensão do espaço dado

    Como o enunciado disse que é transformação linear de R6 -> R3, temos que o DIM (Ed) = 6.

    Com os vetores dados descubrimos a DIM (Eg):

    |1  0  1|
    |0  1  0|
    |1 -1  1|

    Podemos concluir que estes vetores geram o espaço de dimensão 2, pois a terceira linha = a primeira menos a segunda, ou seja sua determinante é igual a 0.

    Com isso temos:

    DIM (N) + DIM (Eg) = DIM (Ed)
    DIM (N) + 2 = 6
    DIM (N) = 6 -2
    DIM (N) = 4          Alternativa A.

    Espero ter ajudado!

  • Lecesarmelo

    fernando, não entendi a igualdade das duas matrizes. pq |1 -1 1| = |0 0 0|? na terceira linha das matrizes.

  • http://www.facebook.com/people/Ivan-Akamatsu/1430342911 Ivan Akamatsu

    dim(R^n) = n, quando a os vetores são LI

    Por exemplo, se todos os vetores do R^6 fossem LI, a dimensão seria 6

    No caso da Imagem, a dimensão máxima dela é 3. Como tem um vetor que LD, então a imagem é 2

  • Fernandohbali

    Saiu torta as matrizes ali em cima, mas foi uma falha. Considerem os traços delas alinhadas.

  • Fernandohbali

    Verifica-se que a imagem de T é formada pelos vetores (1,0,1), (0,1,0), e (1,-1,1)
    chamamos v1 (1,0,1) v2 (0,1,0) e v3(1,-1,1)

    Montando uma matriz com esses vetores que formam a imagem, | 1 0 1|         |1 0 1|
                                                                                                           |0 1 0 |  =    |0 1 0|
                                                                                                           |1 -1 1|        |0 0 0|
    Ou seja v3 é um combinação linear de 1 com v2
    v3 = v1 – v2

    Assim se verifica que a base é da imagem para ser formada precisa somente dos vetores v1 e v2. Logo  Dim (Im T) = 2

    Se T: R6 -> R3,    Então Dim U = Dim ( Im T) + Dim ( Nuc T)

                 onde                  Dim U = 6

                                           Dim ( Nuc T ) = Dim U – Dim ( Im T )
                                          Dim ( Nuc T ) = 6 -2

                                          Dim ( Nuc T ) = 4

  • mdikewqpofe

    alguem poderia explicar detalhadamente essa questão?

  • mdikewqpofe

    alguem poderia explicar detalhadamente essa questão?

  • mdikewqpofe

    alguem poderia explicar detalhadamente essa questão?

  • mdikewqpofe

    alguem poderia explicar detalhadamente essa questão?

  • Engenheira

    Como eu acho q a dimensão da imagem?!

  • Van_felix

    Alguem tem a resolução dessa questao pra me passar??

  • Mariowpp

    dim(V) = dim(nucleo(T)) + dim(Im(T)) -> 6 = 4 + 2

    Creio que seja isto.

  • Jrog

    Dado T de U para V, a dimensão do núcleo mais a dimensão da imagem é igual a dimensão de U.

  • alexcandeia

    A dimensão do nucleo é sempre 2x a dimensão da imagem ?

  • Abcde

    igual a 4.
    basta notar que o terceiro vetor é linearmente dependente dos outros dois.
    Logo, a dimensao da imagem é 2 e do nucleo é 4.
    letra A