Q21

No Plano Cartesiano, seja α a curva formada pelos pontos (x,y) cujas coordenadas satisfazem a equacao x2+xy+y2 = 3. Entao, sao paralelas ao eixo das ordenadas as retas tangentes a curva α nos pontos

(A) (2, -1) e (-2, 1)
(B) (-1, 2) e (1, -2)
(C) (-1, -1) e (1, 1)
(D) (0, √3) e (0, -√3)
(E) (√3, 0) e (-√3, 0)

Ver Solução
  • Eres Alessandro Porcineli

    Questãozinha filha da mãe…
    Derivando implicitamente ambos os lados da equação, temos:

    2x+y+(dy/dx)x + 2y(dy/dx) = 0, colocando dy/dx em evidencia:

    dy/dx = -(2x+Y)/(x+2y) –> igualando o denominador igual a zero, temos a condição para que a reta que tangencia a curva seja paralela ao eixo y e tenha 90º com relação a abscissa x….

    isso ocorre para x=-2y…

  • Pedro Neto

    Está resposta está um pouco errada, A correção está em outro comentário.

  • Pedro Neto

    Agora a explicação está certa.

    como a equação da reta é y=mx+b e a reta é paralela ao eixo das ordenadas eixo (y). Assim, o coeficiente angular é m=-1 e y=0 —> x=b

    substituindo x na equação: y²+by+b²-3 = 0 (equação do segundo grau)
    ay²+Dy + c = 0 a=1 D=b e c = (b²-3)

    como a questão fala de retas tangentes o delta da equação do 2° grau tem que ser igual a zero
    assim: 0=b² – 4.(b²-3) = 0 resolvendo a equação encontramos b=2 e b=-2

    Sendo os valores de da reta x=2 e x=-2 essas duas equação são as retas paralelas ao eixo y.

    substituindo esses valores na equação principal encontramos a letra A! não é necessário utilizar a derivada nesta questão!

  • Pedro Neto

    como a equação da reta é y=mx+b e a reta é paralela ao eixo das ordenadas eixo (y). Assim, o coeficiente angular é m=0.—> y=b

    substituindo y na equação: x²+bx+b²-3 = 0 (equação do segundo grau)
    ax²+Dx + c = 0 a=1 D=b e c = (b²-3)

    como a questão fala de retas tangentes o delta da equação do 2° grau tem que ser igual a zero
    assim: 0=b² – 4.(b²-3) = 0 resolvendo a equação encontramos b=2 e b=-2

    Sendo os valores de da reta y=2 e y=-2 essas duas equação são as retas paralelas ao eixo x.
    ou seja, x=2 e x=-2

    substituindo esses valores na equação principal encontramos a letra A! não é necessário utilizar a derivada nesta questão!

  • Lucas

    Essa questão é de cálculo.

  • http://profile.yahoo.com/IDDYSJL4KIVO3G3YD5W4P6TUIM Luís Gustavo

     

    A Helena e Motta estão corretos: somente juntando as
    respostas e esclarecendo as dúvidas que vi, se derivarmos em relação a x a
    derivada deve tender ao infinito, isto é, f’ →∞ , assim as contas serão uma
    pouco mais complicadas. Mas se derivarmos em relação a y tem-se que f’ →0
    (lembre-se que os eixos são ortogonais). Assim, derivando em relação a y vem
    que:

    F´=x+2y=0, daí vem que x = -2y, substituindo na equação da curva
    dada vem que 4y2-2y2+ y2 = 3, portanto: y2=1
    → y=±1

  • http://profile.yahoo.com/IDDYSJL4KIVO3G3YD5W4P6TUIM Luís Gustavo

    A Helena e Motta estão corretos: somente juntando as
    respostas e esclarecendo as dúvidas que vi, se derivarmos em relação a x a
    derivada deve tender ao infinito, isto é, f’ →∞ , assim as contas serão uma
    pouco mais complicadas. Mas se derivarmos em relação a y tem-se que f’ →0
    (lembre-se que os eixos são ortogonais). Assim, usando a derivação implícita
    vem que,

    F´=2xx’+x+x’y+2y=0, Mas a derivada x em relação a y também deve
    ser zero, x’=0, daí vem que

    x = -2y, substituindo na equação da curva dada vem que 4y2-2y2+
    y2 = 3, portanto

    y2=1 → y=±1

  • Fernando Carvalho

    Derivo a curva em relação a Y. O resultado dessa derivada da curva em relação a y será: X + 2Y

    Se pegarmos um ponto qualquer da curva (Xo,Yo) e substituirmos em X + 2Y, acharemos um numero. 

    Esse numero é o coeficiente angular da reta tangente a curva neste ponto (Xo,Yo) em relação ao eixo Y (devido ao fato de termos derivado a curva em relação a Y).

    Se igualarmos  X+2Y = 0 (isso quer dizer que o coeficiente angular de qualquer ponto da curva) em relação ao eixo Y é zero. E ser é zero, isso também quer dizer que as retas tangentes que satisfaçam essa relação são paralelas ao eixo Y. 

    Logo quaisquer pontos (x, -x/2) são pontos que suas retas tangentes são paralelas ao eixo Y.

  • Talaco

    Na verdade vc pode derivar tudo em relação a x e fazer dy/dx =
    ∞,  dá na mesma.

  • Helena_coimbra

    deriva em relação a y pq o enunciado pede as retas paralelas ao eixo das ordenadas (eixo y)

  • Aprovado

    Porque deriva em relaçao ao Y, e nao em relaçao ao x?

  • motta

    Apenas complementando, quando vc chega na relacao y = -(x/2), basta substituir essa relação na equacao original da curva… vai cair em uma eq. de 2o grau bem simples : x2 =  4 => x = +- 2 => (2,-1) e (-2,1). Letra A.

  • Helena_coimbra

    Derivando a equação temos: 2x(x’) + (x’)y + x + 2y

    Como a questão pede tangentes paralelas a y, então x’ = 0

    Logo resta a eq 2y+x = 0, a única opção que encaixa é a A

  • Lstelmaki

    Derivando-se em relação a y temos f(x,y)= x+2y. Como as retas são tangentes a curva e paralelas as abscissas a derivada em relação a y deve ser igual a = 0 então os pontos assumem os valores (-2y,y). Testando os valores das alternativas a única que satisfaz os valores é a alternativa A.