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Q38

Cesgranrio 2011, Engenheiro de Petróleo  

Se um conjunto de vetores é base de um espaço vetorial, então qualquer vetor desse espaço pode ser obtido através de combinações lineares dos vetores do conjunto. Qual dos conjuntos a seguir é uma base para o espaço vetorial IR2 ?

(A) {(-1,2)}
(B) {(1,1),(3,3)}
(C) {(0,0), (3,4)}
(D) {(3,1), (8,3)}
(E) {(1,2), (3,5), (1,0)}

 

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Assunto(s): ,  

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  • Pedro

    Letra A errada pq só tem 1 vetor e no R2 => 2 vetores;

    Letra B errada pq os dois vetores são linearmente dependentes ( um é multiplo do outro) 3. (1,1) = (3,3);

    Letra C errada pois o det 0 0 é zero e um dos vetores é o vetor nulo.

    Letra D correta, pois seja a um número qualquer diferente de zero.

    Não existe um número a tal que: a(3,1)=(8,3)

    3a=8 eq.I

    a=3 eq.II

    Para ver se gera espaço V

    a(3,1)+b(8,3)=(x,y) => (3a,a)+(8b,3b)=(x,y)

    3a+8b=x 3a+8b = x
    a+3b=y (-3) -3a-9b = -3y
    —————-
    -b = x-3y => b= 3y-x
    a=y-3b => a=y-9y+3x => a=3x-8y

    V=av1+bv2

    V=(3x-8y).v1+(3y-x).v2

    Logo temos que se gera o espaço V.

    Letra E errada.

    Podemos ver se são LI ou LD da seguinte forma:sejam a e b numeros quaisquer diferentes de zero.

    a(1,2) + b(3,5) = (1,0)

    a + 3b=1 =>x(-2) – 2a -6b=-2
    2a+ 5b=0 2a+ 5b=0

    ————–

    -b=-2 =>b=2 e a=-5

    -5(1,2) + 2(3,5) = (1,0)

    Os 3 vetores são linearmente dependentes, e não formam base.

    Letra E está errada.

  • y

    Descaracteriza pq se dim=2 e há 3 vetores, então um deles é combinação dos outros, logo o conjunto se torna L.D, daí ele contém a base e não é a base, como dito no enunciado.

  • Rômulo Giuberti

    A opção letra E apenas não é Base pois o Vetor (1,0) é combinação linear dos outros dois vetores.
    (1,0)=2×(3,5)-5×(1,2). O restanto foi dado corretamente abaixo pelo RexKong.

  • x

    Ter 3 vetores nao descaracteriza a possibilidade do conjunto ser base ..

  • Tiagocanalli

    Boa! Resposta completa e 100% correta!

  • Cristiano lopes

    para ser base, tem que ser L.I. e gerar o espaço V.

    Solução:
    a.(3,1)+b.(8,3)=(0,0)
    (3a,a)+(8b,3b)=(0,0)
    3a+8b=0
    a+8b=0
    resolvendo o sistema encontra a=b=0 então é L.I
    Agora iremos saber se gera o espaço V:
    Para isso basta calcular como o anterior igualando a X e a Y.
    a.(3,1)+b.(8,3)=(x,y)
    (3a,a)+(8b,3b)=(x,y)
    3a+8b=x
    a+3b=y ===>  a=3x-8y
                             b=3y-x

    V=a.v1+b.v2
    V=(3x-8y).v1+(3y-x).v2
    então v gera o R²

    resposta D

  • Dammyão Alves

    A e E né?

  • Jackspicerii

    Caras é a “b”….

    pois precisa ser um conjunto de vetores (mais de um) e ele podem ser obtidos atraves de uma combinação linear (uma multiplicação e/ou soma) de outro vetor

  • RexKong

    meu email:diegoestumano@hotmail.com
    Analisando cada alternativa.
    a) Não. Como se trata de um espaço R2 a base deve ter dois vetores lineamente independente e não nulos
    b)Não, pois os vetores são linearmente dependente
    c) não, porque tem um vetor nulo
    d) Correta
    e) Não, porque tem 3 vetores

  • Hirokazu

    Bastaria calcular o determinante de cada matriz, o que fosse diferente de 0, equivale aos vetores com relação linear.

    det[3,1;8,3] é diferente de 0
    det[1,1;3,3]=0
    det[0,0;3,4]=0

    As opções A e D não possuem determinantes.