Q21

Os vetores u, v e w, e são tais que u+v+w=0 , onde é 0 vetor nulo.
Se <x,y> denota o produto escalar entre os vetores x e y, e |v|=|u| = 1 e |w|= √2, o valor de <u,v>+<u,w>+<v,w> é igual a

(A) − 4
(B) − 2
(C) 0
(D) 2
(E) 4

 

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  • Ricardo

    Ótima resolução, porém deve-se ter o cuidado de adotar vetores u e v de modo que o vetor resultante tenha |w|=raiz2, ou seja:

    se considerássemos que u = v = (1,0), |u|=1 e |v|=1, no entanto w= – u – v = (-2,0), que resulta em |w|=2.

    Em outras palavras, se o problema tivesse dado um valor de |w| diferente de raiz2, e adotássemos u=(1,0) e v=(0,1), não daria a resposta correta.

  • Rodrigo Lucena

    Então, eu não sei se pode fazer isso, já que ele está partindo do pressuposto que os dois vetores (u e v) são ortogonais e só sabemos disso após calcular o ângulo entre os 2 vetores.

  • Luiz

    Ele poderia considerar qualquer vetor. Considerou 0,1 e 1,0 para ficar mais fácil. Serve para qualquer caso. Muito boa resolução!

  • Fiter

    Brocou demais

  • Thamires

    Porque você considerou u=(1,0) e v=(0,1)?

  • Manoel

    Na faculdade.

  • Gabriela Martins

    Meu caso também, ainda não aprendi nada disso o.o

  • Alinne Campos

    Gente estou no 2° ano do ensino médio e ainda não aprendi todos esses cálculos, sabem como/onde posso aprender?

  • Rodrigo

    o seu “-” ta errado… a resposta ta certa, a logica ta errada. O modulo de -w é w, logo sai raiz (2) e não -raiz(2)… o negativo se da ao fato que o angulo entre eles se da pelo ponto em comum de ambos os vetores, ou seja, o angulo correto não é 45 e sim 135 (desenhe, que entenderá melhor).

  • Jose

    ||u||=1
    ||v||=1
    adotando-se u=(1,0) e v=(0,1), sabe-se que
    u+v=-w, portanto w=(-1,-1) , fazendo ++=0-1-1=-2

  • jeferson_medeiros

    Como u+v+w=0, então, como não há vetor resultante, eles formam um triângulo.

    Se for triângulo retângulo => Raiz(2) = Raiz [(1^2)+(1^2)]  => é retângulo

    Então, no triângulo, como ele e isósceles e retângulo, os ângulos entre u e v = 90°, u e w = 45° e v e w = 45°. Mas estes ângulos são assim, pois ligamos a extremidade de um vetor a base de outro  (por causa da soma), mas para o cálculo do produto escalar precisamos dos ângulos base com base, logo eles passam a ser: u e v = 90°, u e w = 135° e v e w = 135° (Se desenhar o triângulo com os vetores fica mais fácil de compreender)

    = 1 . 1 . cos 90° = 1 . 0 = 0
    = 1 . raiz (2) . cos 135° = raiz (2) . [- raiz (2)/2] = -1
    = 1 . raiz (2) . cos 135° = raiz (2) . [- raiz (2)/2] = -1 

    +  +  = -2

    Abraços

  • Amanda Mendes

    Seguinte, a soma vetorial u+v+w = 0. Isso significa que a soma de 2 vetores deve ser igual ao inverso do outro vetor. Você considerou 90º entre u e v. Caso tivéssemos considerado outro ângulo(o que não alteraria na soma acima), teria que resultar na mesma coisa?
    Obrigada

  • Anônimo

    Exatamente! Coloque 45 pois é a mesma coisa (valor), porém com sinal trocado! Em termos de cálculo dá no mesmo. Só tem que se ligar no sentido do vetor W. 
    Como eu tinha forçado que o vetor W tivesse sentido negativo, usei o 45 mesmo. Mas o correto correto é 135º.

  • Slack

    Entendi. Mas na parte do produto escalar eu achei que |W|, deveria ser positivo, já que é valor em módulo de W. Mas vc colocou positivo. Acho que na verdade o angulo é 135 entre U e W, já que CA/H = -1/raiz(2), o cosseno disso é 135. Assim na hora do produto escalar o resultado seria -1. Não seria isso ?

  • Anônimo

    CA= Cateto adjacente
    CO= Cateto oposto
    H= Hipotenusa

  • Slack

    O que é CA e CO ?

  • Anônimo

    Resolvi esta questão desta maneira:

    Lembrando que U+V+W = 0 é uma soma vetorial e não escalar.
    Se |U|=1, |V|=1 e |W|= raiz(2), então:
    Se somarmos vetorialmente U+V (com um ângulo de 90 entre eles, para facilitar) obteremos um vetor com módulo = raiz(2).
    Logo, para que a soma vetorial seja 0, o vetor W teria que apontar para o outro sentido, sendo igual a: – raiz(2).

    Encontrando o ângulo entre eles, temos que:
    Entre U e W => cos = CA/H = 1/(-raiz(2)) = 45º.
    Entre V e W => sen = CO/H = 1/(-raiz(2)), logo o ângulo também é 45º.
    Entre U e V => 90º (determinado anteriormente)

    Então temos que:
    =  |U||V| cos 90 = 0
    = |U||W| cos 45 = 1. (-raiz(2)). raiz(2)/2 = -1 (o – vem do sentido de W)
    = |V||W| cos45 = 1. (-raiz(2)). raiz(2)/2 = -1

    Logo : + +   = 0 -1 -1 =-2
    V
    |
    |      /W
    |    /|  /
    |/________>
                 U

    Assim sem o visualizar os vetores, fica um pouquinho mais difícil.
    Se alguma coisa estiver errada, me avisem. Foi como consegui resolver.

    Abraços

  • Waldir

    Quer dizer -2

  • Waldir

    |u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|W|^2+2uv+2vw+2uw
    0=1+1+2+2(uv+vw+uw)
    uv+vw+uw=-4/2=2