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Q27

Cesgranrio 2012, Engenheiro de Petróleo  

O vetor n = (1,2,− 3) é perpendicular a um plano α que contém o ponto P(3,2,−1). Os pontos do plano são da forma (x, y, z) ∈ R3, onde os números x, y e z satisfazem a relação
(A) (x-1)/3 = (y-2)/2 = -z-1
(B) x-3 = (y-2)/2 = (-z-1)/3
(C) x + 2y − 3z = 0
(D) 3(x − 1) + 2(y − 2) − (z + 3) = 0
(E) (x − 3) + 2(y − 2) − 3(z + 1) = 0

 

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Assunto(s):   

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  • Vitor Albuquerque

    Não é necessário decorar nenhuma fórmula. Sabendo que o produto escalar de 2 vetores ortogonais é igual a 0, e sabendo que qualquer ponto T (X,Y,Z) forma com o ponto P um vetor contido no plano, é só fazer a seguinte operação: n.TP=0
    (1,2,-3).(x-3,y-2,z+1)=0
    x-3+2(y-2)-3(z+1)=0, que é a equação do plano. Letra E

  • victor

    Essa é a melhor resposta, analisando o problema, e não decorando a equação do plano qdo é dado 1 ponto pertencente a ele e um vetor ortogonal a ele.

  • Luiz

    Jogando as coordenadas do ponto P contido no plano nas equaçoes abaixo apenas na letra B e E as equações serão verdadeiras, o que para um chute já seria 50% (rsrs). Dai vale lembrar (decoreba) que a equação de um plano, dados um ponto do plano e um vetor normal trata-se de:

    Xn(x-Xo) + Yn(y-Yo) + Zn(z-Zo) = 0

    Xn, Yn, Zn coordenadas do vetor normal
    Xo, Yo, Zo coordenadas do ponto pertencente ao plano

    Só não entendo pq essa questão não consta como assunto Geometria Analítica, mas sim como Alg. Linear…

  • Anônimo

    Esta questõ fica fácil se soubermos a equação do plano: nx(x-xo) + ny(y-yo) + nz(z-zo) = 0
    Onde :
    nx = componente x do vetor perpendicular ao plano
    ny = componente y do vetor perpendicular ao plano
    nz = componente z do vetor perpendicular ao plano
    Neste caso temos n =(nx,ny,nz)=(1,2,-3)

    Então temos: 1(x-xo) + 2(y-yo) – 3(z-zo)= 0
    No enunciado da questão é dito que o plano em questão contém o ponto P(3,2,-1). Então substituímos os pontos e obtemos:

    1(x-3) + 2(y-2) – 3(z+1) = 0

    Resposta: Letra E

  • Lucasss19

    Eu não entendi o porque desse artifício. A resposta pode até bater, mais não entendi a lógica. Se puder ajudar agradeço.

  • Rafael

    Se fizermos a diferença de um ponto qualquer do plano (x,y,z) pelo ponto P que é fornecido, e postereiormente fizermos o produto escalar (produto interno) pelo vetor perpendicular, o resultado será zero, então fica:
    (x-3),(y-2),(z+1)*(1,2,-3)=(x-3)+2(y-2)-3(z+1).
    Letra E