Q53

De um cubo de 6 cm de aresta, retiram-se dois tetraedros, cada um formado por um vértice do cubo e pelos pontos médios das arestas que incidem sobre eles, conforme a figura a seguir. O volume, em cm3, do poliedro assim gerado é

(A) 200
(B) 205
(C) 206
(D) 207
(E) 216

Ver Solução
  • CSS

    Simplificando tudo, existe uma solução SUPER simples por Geometria Analítica:

    Imaginem o planos cartesianos x,y,z partindo do vértice do cubo aonde está um dos tetaedros. Dessa forma consideramos o vértice como a origem (0,0,0).

    Dessa forma pode-se imaginar os 3 vetores:

    A= (3,0,0)
    B= (0,3,0)
    C= (0,0,3)

    Fazendo-se o produto misto dos vetores (que na prática é o mesmo que fazer o determinante):

    3 0 0
    0 3 0 = 27
    0 0 3

    pela fórmula: Volume do tetraedro = 1/6 do produto misto, logo 27/6 = 4,5

    V = V cubo – 2 V tetraedro = 6^3 – 2×4,5 = 216 – 9 = 207

  • Pedro

    a altura do tetraedro será raiz 3. Seja O o vertice superior do tetraedro (vertice do cubo). A altura do tetraedro terá a outra extremidade no triangulo da base dividindo a altura deste triangulo em dois segmentos: h/3 e 2h/3, onde h é a altura do triangulo da base. Com isto, podemos calcular a altura do tetraedro atraves do triangulo formado pela hipotenusa 3, cateto h/3 e o outro cateto que é altura do tetraedro.

  • Anônimo

    Vou tentar dar uma outra visão:

    Sabemos que o prisma, com uma determinada área de base, tem volume equivalente a 3 pirâmides de mesma base do prisma. A base do cubo equivale a 8 base de pirâmides(vamos considerar a base da pirâmide que está na face do cubo), portanto, em cada metade do cubo tem-se 8*3 pirâmides, logo temos 2*3*8=48 pirâmides no total. Retiramos duas, portanto, o volume restante é de (6^3)*(48-2)/48 = 207

  • W_B

    Esqueçam o lado do triangulo equilátero e utilizem SÓ os triangulos retângulos !

    Lado do triangulo retangulo: 3
    Base do triangulo retangulo: 3
    Área do triangulo retangulo: (3×3)/2 = 4,5

    Volume do tetraedro: Sb x H / 3 = 4,5 * 3 / 3 = 4,5

    2 tetraedros: 4,5 x 2 = 9

    Resposta: 6^3 – 9 = 207.

  • Heitor Lichotti

    Godinho a questão toda é que você estava considerando como base do tetraedro o triangulo equilátero. Para facilitar os cálculos e resumir tudo, basta utilizar com base do tetraedro o triângulo retângulo da face superior por exemplo. Agora para calcular o volume do tetraedro tome como altura h, a semi reta que desce por entre as face frontal e lateral direita do cubo, e cujo comprimento é 3.
    Asssim temos:

    Área do triângulo retângulo da base= 3*3/2 = 9/2

    Volume de um tetraedro = (3*9/2)/3 = 9/2

    Volume do cubo= 6*6*6 = 216

    Volume do Poiedro gerado = Vcubo – 2Vtetraedro= 216-2*(9/2) = 207

  • Participante

    Consegui identificar o motivo da minha duvida. Incrivelmente eu nao conseguia enxergar o triangulo da base, que esta inclusive com seus lados em negrito. Esse realmente é equilatero, portanto minha confusao foi conseiderar todos com os das faces, que sao isoceles. Corrigido o problema.

  • Participante

    Desculpem, usei o espaco errao. Entao, como disse abaixo, esse triangulo nao é equilatero pq o angulo formado pelos lados que tem 3cm, formam entre si, um angulo de 90 graus, pertencentes as arestas do cubo, logo a base dele vale 3raiz de 2. A altura esta batendo, h=3, mas a area da base nunca seria 3.3/2. Seria Ab = (3raiz 2 x 3)/2. Dai, sai o resto. Se estiver errado me ajudem a enxergar da mesma forma que vcs. Valeu.

  • Participante

    Galera, me tire uma duvida please. Como esse triangulo que forma esses prisma é equilatero, se os dois lados que pertencem as arestas do cubo, medem 3 cm cada, mas o angulo entre eles é de 90 graus, logo, jamais a base pode ter tb 3 cm, concordam? Triangulo equilatero, significa tambem que ele deve ser equiangulo. A menos que eu nao esteja conseguindo ver da mesma forma que vcs. Me ajudem ai…Obrigado a todos. Por isso nao consigo achar a resposta que vcs nem a murro…

  • Euder

    ==> Volume total do cubo = 6.6.6. = 216 cm3

    ==> O lado que falta da base você pode achar fazendo x^2 = 3^2 + 3^2 = 18 = (fatorando) = 3sqrt(2)

    ==> Volume de CADA tetraedo: (1/3).Ab.H

    Área da base (Ab) = (Cateto1 x Cateto2)/2 = 3.3/2 = 9/2.
    A altura (H) é 3. Basta olhar para o tetraedo.

    Logo, VOL(tetraedo) = ((9/2)*(3))/3 = 9/2.
    Como são dois tetraedos: 2*9/2 = 9 cm3

    Então, 216 – 9 = 207 cm3

  • lucianobillotta

    Cara, imagina na base daquela pirâmide, o ponto onde as alturas da base se encontram.

    Agora visualiza uma reta saindo desse ponto e indo até o vértice da pirâmide, outra reta saindo desse mesmo ponto e indo até um dos vértices da base, essa reta é 2/3 do tamanho da altura da área.

    Agora é só ver que existe um triângulo reto entre os 2/3 da altura da base, a reta que sai do ponto das alturas e vai até o vértice da pirâmide e outra reta com um dos lados do próprio cubo (que sai do vértice da base da pirâmide e vai até o vértice da pirâmide).

    Ae é aplicar pitágoras e você descobre a altura da pirâmide.

  • Magnific

    Pessoal, quem puder ajudar dê uma dica ai, apesar de algumas soluções apresentadas pelos colegas estarem corretas, eu não consigo entender como a altura do tetraedro da equivalente a 3, fora isso ta tudo tranquilo.

  • Renan

    Retiro o que eu disse.
    Maria_carolina17 está certa…

    Godinho calculou como se o tetraedro fosse regular… mas não é o caso aqui…

  • Renan

    Para mim o Godinho Mg está certo.

  • Maria_carolina17

    Vc=216 -2*Vp
    Para encontrar o volume da pirâmide primeiro devemos achar a área da base triangular. Cada lado mede 3raiz2, pois l^2=3^2+3^2=raiz18=3raiz2
    A altura da base mede h=lraiz3/2, logo 3 raiz6/2.
    Assim a área base= 9raiz3/2.
    A altura da piramide (H) mede raiz3, pois ela é um dos catetos do triângulo formado pela metade do lado do quadrado e 2/3da altura da base em relação ao topo. Logo 3^2= (2/3h)^2 + H^2.
    Por fim, Vp= 1/3*Ab*H= 1/3*9/2raiz3*raiz3 = 9/2.

  • Maria_carolina17

    A base da pirâmide é de um triângulo retângulo? Se sim o valor dela não é 9/2. Sua fórmula é l^2raiz3/4, não dha 9/2

  • Fredelihimas

     Sua resposta está errada, cada tetraedro tem volume 1/3.(3.3/2).3=9/2
    portanto o volume pedido é Vcubo-2.9/2=6.6.6-9=216-9=207 letra D

  • aprendiz

    Fazendo desta forma a resposta dará igual ao gabarito.

  • aprendiz

    Vc= 6cm^3
    Base do tetraedro= 3raiz(2), então area da base = 9/2 x raiz(3) e altura do triangulo da base = 3/2raizde(6).
    Alturadotetraedro=raizde(3). Para se encontrar a altura do tetraedro de vertice no vertice do cubo, deve-se lembrar de baricentro do triangulo, pois o ponto a ser encontrado pelo vértice do cubo cairá na baricentro da base e com isto encontrará a alturo do tetraedro…..depois só conta.

  • Godinho Mg

    Sua resposta ficou bem elaborada, porém a área de um triângulo equilátero(base do tetraedro), não é l^2/2, pois a altura tem medida diferente do lado, e sim (l^2*raiz3)/4, outra coisa é que a altura deste tetraedro mais uma vez não é igual a aresta e sim (l*raiz6)/3, resolvendo a questão como deve ser fica:
    Vtet = (1/3)*((3^2*raiz3)/4)*((3raiz6)/3)  *  2  = (3*raiz18)/2 = 6,36(aprox), ou seja, nenhuma resposta atende.

  • Igor Silva Batista

    Não. A área da base de um triângulo é a.h/2. Nesse caso fica 3.3/2 = 9/2. Correto a primeira solução.

  • Lucassput

    Discordo do resultado encontrado, a área da base é (9*raiz3)/2, resolvendo-se a resposta final é 200, ou seja letra A

  • Rafael

    Assim é fácil, a dificuldade da questão é justamente ter a visão espacial para encontrar os valores da área da base e da altura do tetraedro.

  • Alexabf7

    O volume do cubo inteiro é:
    Vc = a^3;
    a = 6 cm; aresta do cubo.
    Vc = 216;
     
    O volume retirado corresponde a dois tetraedros iguais, com área da base igual a Ab = 9/2 e altura h = 3. Assim o volume de um tetraedro retirado = (Ab.h)/3;
    Volume de um tetraedro = ([9/2].3)/3 = 9/2;
    Como foram retirados dois tetraedros, o volume retirado é duas vezes o volume de um tetraedro;
    Volume retirado = 2.(9/2) = 9;

    O volume assim gerado é:
    V = Vc – Volume retirado;
    V = 216 – 9;
    V = 207;

    O que nos dá a alternativa (D)