Q70

Toma-se um conjunto P com 2 elementos e um conjunto Q com 3 elementos. Quantas são as possíveis relações não vazias de P em Q?

(A) 6
(B) 8
(C) 16
(D) 48
(E) 63

Ver Solução
  • Pedro

    Eu só não entendi porque foi preciso subtrair um, pois nas combinações que você descreveu, em nenhuma dela o elemento vazio será contabilizado correto?

  • W_B

    O único impar é a letra é. Como a resposta é produto de 2^n, não precisa fazer conta.

  • Bruno

    O que é uma relação não-vazia?

  • CabraMacho

    Parabéns pela explicação!

  • Pedro Neto

    Olá, pesquise no livro de Fundamentos de Matemática que você vai achar, na parte subconjuntos- Conjunto das partes.

  • lkm

    vc pode fazer 2^6-1. Ou pode ver que 63 é a única resposta ímpar e observar que ele escreveu NÃO VAZIAS no enunciado… he he he

  • Lucasss19

     VAleu. Se tiver alguma literatura que ajude nesse assunto , agradeceria muito.

  • LuizF

    Essa questão pode ser abordada também como uma questão de combinatória.
    Uma relação de P em Q consiste de pares ordenados, na forma (p,q) [onde p pertence a P e q pertence a Q]. Como o Petroleo já comentou em sua solução, o número de possíveis pares ordenados (p,q) é 2×3 (#P vezes #Q), no caso {(p1,q1),(p1,q2),(p1,q3);(p2,q1),(p2,q2),(p2,q3)}

    Agora, dentre os 6 possíveis pares ordenados (p,q), queremos escolher 1, 2, 3 ,4, 5 ou 6 deles para compor a relação. Por exemplo, escolhendo 1 teremos uma relação unitária (apenas 1 elemento); escolhendo 2, uma relação com 2 elementos e por aí vai.

    NOTAÇÃO: C(N,m) = combinação de N elementos, tomados m a m, ou seja, o número de maneira de se escolher m elementos dentre N elementos existentes.

    Portanto, podemos criar a relação de P em Q de S maneiras, onde:

    S = C(6,1) + C(6,2) + C(6,3) + C(6,4) + C(6,5) + C(6,6)

    Essa soma pode ser calculada termo a termo [C(N,m) = N! / (N-m)!m! ] ou lembrando-se que a soma de uma linha do triângulo de Pascal é igual a 2^N, onde N corresponde ao número da linha (lembrando que a primeira linha é a linha ZERO)

    1  -> linha 0   SOMA = 1
    1 1 -> linha 1   SOMA = 2
    1 2 1   
    1 3 3 1 -> linha 3  SOMA = 8
    ……………….

    Logo, S = 2^6 – 1 = 63.

    PS.: o “-1″ acima é porque a soma da linha correspondente do triângulo de Pascal deveria incluir o termo C(6,0). Assim, 

    C(6,0) + C(6,1) + C(6,2) + C(6,3) + C(6,4) + C(6,5) + C(6,6) = 2^6 = 64
    Logo, S = 64 – C(6,0) = 64-1 = 63.

    .CQD.

  • VF

     Também não achei onde este assunto se encaixa!

  • Rafael

     Como assim não considera a possibilidade de um conjunto vazio? a resolução dele é exatamente a aplicação da fórmula, n=3, m=2; 2*3=6; 2^6=64, desses 64 subconjuntos, apenas um é o vazio. Como ele pede as relações não vazias, exclui-se apenas um, resultando 63.

  • Luiz

    Obrigado Vigtc. A resposta do “Petroleo” nao me pareceu mto convincete uma vez q o numero de respostas possiveis, nao consideram a possibilidade de um conjunto vazio. Agora essa fórmula de relaçoes é nova pra mim. Não achei em nenhuma literatura.. :(

  • Vigtc

    Lucas, conjuntos e relações, bloco 3.

    Luiz, em geral, o número de relações de P em Q é 2^(n.m), sendo n e m o número de elementos de P e Q, respectivamente.

  • Lucas

    Que assunto se encaixa essa questão?  Está no edital ???

  • Petroleo

    P há 2 elementos (a,b), e no Q há 3 (1,2,3), então temos 6 possíves
    pares ordenados com esses 2 conjuntos, PXQ=
    {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}. Então, o número de relações de P
    em Q, seria a quantidade de subconjuntos de PXQ que é igual a 2^6 = 64,
    excluindo o vazio, temos exatemente 63.

  • Luiz

    Tem alguma fórmula pronta pra isso?