Q22

Considere a transformação linear T : R3 → R3 definida pela matriz A=. O número real 2 é um autovalor da transformação T. Uma base do autoespaço associado a tal autovalor é

(A) {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)}
(B) {(2,1,0);(-3,1,0)}
(C) {(1,2,0);(-3,0,1)}
(D) {(1/2,1,0)}
(E) {(3,0,-1)]

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  • André Chalella Das Neves

    Basta testar cada vetor das alternativas contra a matriz A. A multiplicação deve dar duas vezes o vetor. As alternativas D e E contêm vetores válidos, mas para ser base precisa conter ambos, portanto a correta é a C.

  • jeffeson vieira de oliveira

    I) Achando os vetores próprios associados ao auto valor λ = 2 por meio da equação:
    ( A- λI)v = 0 , fica:

    |4-λ -1 6 | |x| |0|
    |2 1-λ 6 | |y| = |0|
    |2 -1 8-λ| |z| |0|

    Substituindo λ por 2 no sistema, fica:

    2x-y + 6z = 0

    Y= 2x + 6z

    V = (x, 2x+6z, z), como existem duas variáveis livres (x e z) a dimensão do auto espaço associado ao auto valor λ=2 é 2. Portanto uma base para esse auto espaço é constituída de dois vetores LI, que seguem o formato V = (x, 2x+6z, z), a alternativa C é constituída de dois vetores LI que seguem esse formato. Note que se você substituir x=1 e z=0 no primeiro vetor o vetor fica (1,2,0) e para x= -3 e z= 1 o segundo vetor da base fica (-3,0,1).