Q41

São dadas duas progressões de números reais: {an}nϵN, uma progressão aritmética de razão igual a 3, e {bn}nϵN, uma progressão geométrica de termos positivos e razão igual a 1/9. A progressão de números reais {cn}nϵN , cujo termo geral é dado por cn = 2an + log3(bn), é uma progressão aritmética de razão

(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) 4
(E) 5

Ver Solução
  • Alison Pagung

    Só cuidado com “supor valores” e etc, pois nem sempre isso vai dar certo, e ter em mente que substituir as razões diretamente também só funciona se pedirem a razão da última progressão, que foi o que o enunciado fez. Por curiosidade, vou deixar o passo-a-passo:

    Temos que: c(n) = 2 a(n) + log3 b(n), que é uma PA;

    a(n) é uma PA de razão ra = 3, logo, podemos escrever que ra = a(n) – a(n-1);

    b(n) é uma PG de razão qb = 1/9, logo, podemos escrever que qb = b(n) / b(n-1);

    Para encontrarmos a razão da progressão c, faremos da mesma forma:

    rc = c(n) – c(n-1), e então, temos que colocar os termos em função das progressões a e b:

    c(n) já temos, vamos escrever c(n-1)

    c(n-1) = 2 a(n-1) + log3 b(n-1). Substituindo em rc:

    rc = 2 a(n) + log3 b(n) – 2 a(n-1) – log3 b(n-1), já alterando os sinais de c(n-1).

    rc = 2 [a(n) - a(n-1)] + log3 [b(n) / b(n-1)], pela propriedade do log.

    Porém, temos que os termos entre colchetes são exatamente as ra e qb, que conhecemos. Logo:

    rc = 2 [ra] + log3 [qb], então

    rc = 2 * [3] + log3 [1/9], agora ou resolve de cabeça, ou aplica a propriedade do log novamente:

    rc = 2 * 3 + log3 1 – log3 9 = 6 + 0 – 2 = 4. Então rc = 4, Letra D.

  • Rogerio Marinho

    cn = 2an + log3(bn)
    cn= 2.3 + log3(1/9)
    cn = 6 + log3(1) – log3(9)
    cn = 6 + log3(3^0) – log3(3^2)
    cn= 6 + 0*log3(3) – 2*log3(3)
    cn = 6 + 0 – 2
    cn = 4

  • Ananias Emmerick

    Acho que pode seguir este caminho para a solução:

    cn = 2an + log3 (bn)

    an=3 e bn=1/9

    calculando o log
    log3 1/9 = x,
    então, 3^x = 1/9,
    3^x =1/3^2
    passando o 3^2 para cima fica:
    3^x = 3^-2

    Substituir na fórmula, cn = 2×3 + (-2) = 4

  • Marilson

    Vamos supor uma PA de razão r = 3 e a1=1. Então:

    an = a1 + (n – 1)*r, logo podemos tirar os primeiros 3 elementos dessa PA:

    a1 = 1
    a2 = 1+ (2-1)*3 = 4
    a3 = 1 + (3-1)*3 = 7

    Vamos agora supor uma PG de razão r = 1/9 e b1 = 27. Então:

    bn = b1 * r^(n-1)

    b1 = 27
    b2 = 3
    b3 = 1/3

    Agora substituindo no cn, teremos:

    c1 = 2*a1 + log3 (b1) = 2*1 + log3 (27) = 5
    c2 = 2*a2 + log3(b2) = 2*4 + log3(3) = 9
    c3 = 2*a3 +`log3(b3) = 2*7 + log3(1/3) = 13

    Como se trata de uma PA, temos que a2 = a1 + r => 9 = 5 +r => r =4