Q23

Um dos problemas mais graves enfrentados pelos países em desenvolvimento, tanto pela falta de recursos como pela pouca fiscalização, é a poluição do ar e da água. Em rios em que a poluição ainda não causou danos extremos, basta cessar o lançamento de poluentes em suas águas para haver uma auto-reparação. No caso de lagos e lagoas, o processo de despoluição é mais lento e consiste na substituição gradual da água. Considere o modelo em que o fluxo de água em uma lagoa provoca a diluição de substâncias, sem levar em conta a sedimentação de poluentes, sua ação biológica etc. Considere também que:
(I) as vazões de entrada e de saída de água da lagoa são constantes e iguais, valendo L/s;
(II) quando a água entra na lagoa, ela se mistura rapidamente, de maneira homogênea;
(III) o volume da lagoa é constante e igual a V L;
(IV) os poluentes saem da lagoa pelo fluxo de saída;
(V) a poluição provém de uma indústria instalada às margens da lagoa;
(VI) a partir de determinado momento, em obediência à Lei n.º 6.938, de 31/8/81, que estabelece a Política Nacional do Meio Ambiente, a indústria cessou totalmente a emissão de poluentes. Para esse modelo, t = 0 corresponde ao instante em que cessou a emissão de poluentes, P0 é a quantidade de detritos químicos existentes na lagoa nesse instante e P = P(t) é a quantidade de poluentes dissolvidos na água, no instante .
Supondo, ainda, que a variação da quantidade de poluentes, por unidade de tempo, é proporcional à quantidade total existente na lagoa, em cada instante, o modelo descrito pode ser representado pela equação diferencial , em que > 0 e V > 0. Com base na situação hipotética apresentada, julgue os seguintes itens.

1
A equação diferencial que representa o modelo é considerada uma equação diferencial ordinária, de primeira ordem, do tipo separável.

2
Deduz-se da equação diferencial que a função P(t) é crescente.

3
Considerando que a função P(t) é duas vezes diferenciável, conclui-se que o seu gráfico tem a concavidade voltada para baixo.

4
A solução da equação diferencial citada, considerando que P(0) = P0, é a função . Assim, segundo o modelo estabelecido, jamais o nível de poluição chegará a zero.

5
Considere que, apesar dos protestos populares, a indústria não tenha cessado de poluir a lagoa, depositando continuamente uma quantidade Q —constante—de poluentes, podendo agora o modelo que descreve P(t) ser representado pela equação diferencial . Nessas condições, é correto afirmar que  é solução dessa equação e que, se , a quantidade de poluentes diminui com o tempo, tendendo a estabilizar-se em .

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