Q67 a Q69

A figura acima representa os gráficos das funções  f(x) e  g(x), com -1 ≤ x ≤ 1, definidas por f(x) = ax² + bx +  c, em que a, b e c são constantes reais,  f (-1) = f(1) = 0, f’(-1/2) = 10 e . O gráfico de  g, no plano de coordenadas cartesianas  xOy é a parte superior da circunferência de centro na origem e raio 1. Considerando essas informações e que a unidade de medida é o metro, julgue os itens seguintes.

67
A reta tangente ao gráfico da função f, no ponto correspondente a x = 1/2, é perpendicular à reta tangente ao mesmo gráfico, no ponto correspondente a x = -1/2.

68
A área da região sob o gráfico da função f é superior a 6 vezes a área da região sob o gráfico da função g.

69

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  • Pedro

    o certo é 40/3

  • Felipe

    Pra quem deu 80/3, esqueceram que o a = -10. Se fizer +10 dai sim a resposta seria 80/3

  • BSB

    Consegui de uma forma diferente. Foi a que me veio à cabeça:

    1.Sabemos que f´(-1/2)=10 e que f´ é uma reta:

    1.1.Imagine um triângulo em que um dos catetos é -1/2 e o outro é 10, verificará que a tangente é -20, que é o coeficiente angular da reta.

    1.2.Verificará, também que o coeficiente linear (b) é 0. Pois é a derivada de f(x) no ponto 0.

    1.3.Logo, pela equação da reta y=ax+b, no caso, y=f´(x)
    f´(x)=-20x

    2.Integrando f´(x) 

    2.1.f(x)=-10x^2+C

    2.2.Como f(1)=0=-10(1)^2+C => C=10

    2.3. Logo, f(x)=-10x^2+10

    Bom, o que muda em relação aos posts abaixo é esse começo. A integração, etc é só ver abaixo.
    Pra não ficar em cima do muro, a área sob a curva da parábola deu 40/3 nos meus cálculos… é a única discórdia.
    Abraço a todos e rumo à Salvador!!!

  • BSB

    como o seu deu 80/3? O meu deu 40/3, igual ao da luanna

  • Luanna

    A minha resposta também deu 40/3. Mas felizmente este erro não comprometeria a questão.

  • Luanna

    A minha resposta também deu 40/3. Mas felizmente este erro não comprometeria a questão.

  • Ganância

    Utilizando as condições de contorno: f(-1)=0 => 0 = a – b + c       I

    f(1) = 0 => 0 = a + b + c      II
    f(x) = ax²+bx+c => f’(x)= 2ax+b 
    f’(-1/2)= 10 => -10 = a – b     III
    III em I, temos que c = 10
    Fazendo II + I, temos: 0 = 2a + 2c, logo, a = -10
    f(x) = -10x²+10
    f’(x) = -20x
    67 Se for perpendicular, f’(1/2).f’(-1/2) = -1
    -10 . 10 = -100 diferente de -1. Item errado
    68 Área de g = πr²/2 = π/2
    Área de f = 2 x integral de 0 a 1 de -10x²+10 = 80/3
    Área de f/Área de g = 80/3 /  π/2 ~ 8 Item certo
    69 lim x-> 1 pela esquerda  = -10x²+10/sqrt(1-x²)    IV
    dividindo IV por x² = (-10+10/x²)/sqrt[(1/x²) - 1]
    fazendo o limite temos 0/0
    usando L’Hôpital, limite de x -> 1 pela esquerda de  -20x / [-x/sqrt(1-x²)] = -20sqrt(1-x²) = 0
    Item errado

  • Caiovive

    dá 80/3 e não 40/3

  • Caiovive

    dá 80/3 e não 40/3

  • Messias

    f(x)=-10x^2+10
    f’(x)=-20X
    f’(1/2)=-10
    f’(-1/2)=10
    para ser perpendicular o valor da derivado (tag) nos pontos deveriam ser opostos inversos. o que não ocorre.
    Fazendo a derivada de f(x) de -1 a 1 encontramos= 40/3 = 13,3
    e calculando a metade da área do circulo g(x) achamos pi/2 = 1,6
    portanto a afirmativa é verdadeira.
     
    O limite pela esquerda de f(x)/g(x) tende a 0 e não a infinito.