Q70 a Q75

Para a fabricação do componente x, uma empresa desenvolveu os processos de produção I e II. A tabela abaixo apresenta a distribuição de probabilidade do tempo necessário para se produzir esse componente, de acordo com o processo utilizado.

O custo de produção pelo processo I é igual a R$ 120,00/componente, se T ≤ 24. Caso contrário, o custo aumenta em a reais/componente. Já o custo de produção pelo processo II é igual a R$ 200,00/componente, se T ≤ 20. Caso contrário, o custo aumenta para R$ 250,00/componente. Em cada intervalo de tempo apresentado na tabela acima, a distribuição é uniforme. A escolha do processo dependerá do custo/componente, do tempo médio gasto para produzir o componente e do coeficiente de variação do tempo gasto.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir.

70
A produção pelo processo I gasta, em média, 40 minutos/componente.

71
O custo esperado de produção do componente x pelo processo II será superior a R$ 230,00.

72
Para que o custo esperado/componente da produção pelo processo II seja menor do que 75% do custo esperado pelo processo I, o valor de a deve ser inferior a R$ 75,00.

73
Se 4 componentes forem produzidos pelo processo II, a probabilidade de exatamente 2 deles serem produzidos entre 0 e 20 minutos é inferior a 0,4.

74
O desvio-padrão do custo de produção/componente pelo processo II é inferior a R$ 24,50.

75
Para que os dois processos forneçam distribuições de custos com o mesmo coeficiente de variação, o valor de a deve ser igual a R$ 50,00.

Ver Solução


  • André Chalella Das Neves

    Sua primeira estratégia está correta. Você tem que calcular a média e os desvios-padrão dos custos (o do Processo I sairá em termos de “a”), para em seguida igualar os C.V.

  • Felipe Pereira

    Na questão 75, eu preciso calcular o custo de cada intervalo e a partir daí calcular a média e o desvio padrão para eu calcular o coeficiente de variação ou o cálculo é feito a partir dos intervalos de tempo? Não compreendo como resolver essa questão.

  • mv

    74-
    Var = E(x^2)-(E(x))^2
    E(x^2) = 200^2*0.6+250^2*0.4 = 49000
    (E(x))^2 = 200*0.6+250*0.4= 220^2 = 48400

    Var = 49000 – 48400 = 600
    DP= raiz(600) = 24.49 < 25 , logo Verdadeira

  • Anderson_Cagliari

    Na permutação a ordem interessa. O que foi feito foi multiplicar a probabilidade (0,6*0,6*0,4*0,4) por todas as possibilidades conforme se muda a ordem com que os elementos aparecem.

  • Leticia

    Coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média. A variância das duas pode dar igual para a=50, porém as médias serão diferentes. 

  • Davi

    Pessoal, com relação a 75, substituindo o valor de “a” por 50 R$ a variância do Custo pelo método I dá exatamente igual a 600 que é a mesma variância do custo do método II, ou seja a questão deveria ser verdadeira, mas no gabarito está marcado como errada, será que alguém poderia esclarecer isso ?

  • Anônimo

    Pô, Murilo, você gastou muito tempo, sendo que poderia ter resolvido em duas ou três linhas. Veja:

    A probabilidade do tempo ser menor que 20 minutos é 0,6. Para que seja maior é 0,4. Então para que exatamente 2 dos quatro seja menor que 20, fazemos:

    (0,6 * 0,6 * 0,4 * 0,4) * (Permutação de 4 elementos com dois repetidos duas vezes)

    A permutação é porque a ordem não interessa. A fórmula pra permutação com elementos repetidos é:

    Pn (com a,b,c… repetidos) = n!/(a!b!c!…)

  • Murilo

    Questão 73   

    Acredito que a probabilidade de cada evento ocorrer influencia na probabilidade dos eventos ocorrerem. Por exemplo, se a questão pedisse a probabilidade  dos quatro componentes ocorrerem entre 0 e 20 minutos a resposta seria 0,6*0,6*0,6*0,6 = 0,1296 ao invés de C4,4 = 1/16 = 0,0625

    Baseado nisto, resolvi esta questão atraves da análise de todos os elementos possíveis.

    Considerando 
    A = (componenetes feitos entre 0 e 20minutos) 
    B = (componenetes feitos entre 20 e 40minutos) 
    C = (componenetes feitos entre 40 e 60minutos) 

    Opção1:
    2 componentes entre 0 e 20 (A) e 2 componentes entre 20 e 40 (B)

    AABB
    ABAB
    ABBA                     (6 possibilidades)
    BABA
    BBAA
    BAAB

    sendo a probabilidade de cada uma acontecer individualmente = 0,6*0,6*0,3*0,3 = 0,0324
    Como são 6 possibilidades => 0,0324 *6 = 0,1944

    Opção2: 
    2 componentes entre 0 e 20 (A) e 2 componentes entre 40 e 60 (C)

    AACCACACACCA                     (6 possibilidades)CACACCAACAAC

    sendo a probabilidade de cada uma acontecer individualmente = 0,6*0,6*0,1*0,1 = 0,0036
    Como são 6 possibilidades => 0,0036 *6 =  0,0216

    Opção3: 
    2 componentes entre 0 e 20 (A) e 1 componentes entre 40 e 60 (C) e 1 componente entre 20 e 40 (B)AABC
    ABAC
    ABCA                     
    BACA
    BCAA
    BAAC
    AACB
    ACAB
    ACBA                     (12 possibilidades)
    CABA
    CBAA
    CAAB

    sendo a probabilidade de cada uma acontecer individualmente = 0,6*0,6*0,3*0,1 = 0,0108Como são 12 possibilidades => 0,0108 *12 =  0,1296

    Agora somando todas as probabilidades das 3 opções ocorrerem ficamos com:
    0,1944+0,0216 + 0,1296 = 0,3456
    que é inferior a 0,4 e portanto a questão esta Correta!
     

  • Alberto Braga

    Pessoal reproduzo aqui a íntegra da solução apresentada pelo Prof.Pedro BelloRespondendo à questão, mas rearrumando o enunciado e substituindo # por <= (que representará a desigualdade menor ou igual):

    Para a fabricação do componente x, uma empresa desenvolveu os processos
    de produção I e II. A tabela abaixo apresenta a distribuição de
    probabilidade do tempo necessário para se produzir esse componente, de
    acordo com o processo utilizado.

    Tempo gasto (T) para produzir ……… Processos
    o componente x (em minutos) ………… I ….. II
    ————————————————————
    ……. 0 < T <= 20 ………………………… 0,3 .. 0,6
    …… 20 < T <= 40 ……………………….. 0,5 .. 0,3
    …… 40 < T <= 60 ……………………….. 0,2 .. 0,1
    ————————————————————
    ………….. Total …………………………….. 1 ….. 1

    O custo de produção pelo processo I é igual a R$ 120,00/componente, se T
    <= 24. Caso contrário, o custo aumenta em a reais/componente. Já o
    custo de produção pelo processo II é igual a R$ 200,00/componente, se T
    <= 20. Caso contrário, o custo aumenta para R$ 250,00/componente. Em
    cada intervalo de tempo apresentado na tabela acima, a distribuição é
    uniforme. A escolha do processo dependerá do custo/componente, do tempo
    médio gasto para produzir o componente e do coeficiente de variação do
    tempo gasto.

    Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir.

    52 A produção pelo processo I gasta, em média, 40 minutos/componente.
    RESOLUÇÃO:
    Para calcularmos a média (Esperança ou Expectância) de uma distribuição de probabilidade, usamos a fórmula:
    E[X] = SOMAT X.P(X), ou seja, o valor esperado ou Esperança ou
    Expectância ou média da variável X é igual ao somatório dos produtos da
    variável X pela respectiva probabilidade.
    No caso, o item 52 trata da média do tempo gasto (variável T) para
    produzir o componente x. Então, vamos encontrar a esperança de T fazendo
    o somatório do produto T.P(T). Antes, vamos atribuir para T o ponto
    médio de cada intervalo em minutos, pois como dito no enunciado, "em
    cada intervalo de tempo apresentado na tabela acima, a distribuição é
    uniforme". Assim, temos, para o processo I:

    … T …… P(T) …. T.P(T)
    ————————–
    .. 10 ….. 0,3 ……. 3
    .. 30 ….. 0,5 …… 15
    .. 50 ….. 0,2 …… 10
    ————————–
    Totais …. 1 ……. 28 = E[T]

    Logo, a afirmativa 52 está ERRADA, pois a média não é igual a 40 minutos, mas sim igual a 28 minutos.

    53 O custo esperado de produção do componente x pelo processo II será superior a R$ 230,00.
    RESOLUÇÃO:
    Aplica-se também a mesma fórmula do item anterior:
    E[X] = SOMAT X.P(X), ou seja, o valor esperado é igual ao somatório dos produtos da variável X pela respectiva probabilidade.
    Mas agora, o item 53 trata do custo esperado de produção (vamos
    denominar de variável $) do componente x pelo processo II. Então, vamos
    encontrar a esperança de $ fazendo o somatório do produto $.P($). Mas
    antes, vamos atribuir os valores de $ de acordo com o enunciado que diz
    que para o processo II o custo é de R$200,00 se o tempo T for menor ou
    igual a 20 e R$250,00 em caso contrário. Assim, temos as seguintes
    probabilidades associadas ao custo para o processo II, probabilidades
    essas que denominaremos como P(II) (ao invés de P($)) para caracterizar o
    processo II, pois mais a frente, para os outros itens vamos precisar
    diferenciar P(I) de P(II):

    Tempo gasto (T) para produzir
    o componente x (em minutos) …..$……. P(II) …… $.P(II)
    ———————————————————————–
    ……. 0 < T <= 20 ………………….. 200 …. 0,6 ……… 120
    …… 20 < T <= 40 …………………. 250 …. 0,3 ……….. 75
    …… 40 < T <= 60 …………………. 250 …. 0,1 ……….. 25
    ———————————————————————–
    ………….. Total ………………………………… 1 ………… 220 = E[$(II)]

    Logo, a afirmativa 53 está ERRADA, pois o custo esperado de produção do
    componente x pelo processo II não é superior a R$230, mas sim inferior.

    54 Para que o custo esperado/componente da produção pelo processo II
    seja menor do que 75% do custo esperado pelo processo I, o valor de a
    deve ser inferior a R$ 75,00.
    RESOLUÇÃO:
    Vamos calcular o custo esperado do processo I com a mesma fórmula dos
    itens anteriores, mas agora a questão já começa a complicar um pouco
    (até então estava fácil), pois o enunciado diz que, para T menor ou
    igual a 24 o custo é de R$120,00, mas para tempos maiores do que 24
    minutos o custo passa a ser de 120 + a.
    Reparemos então, que teremos que desdobrar o intervalo de 20 até 40
    minutos (cuja probabilidade é de 0,5) em dois intervalos: de 20 até 24 e
    de 24 a 40. Não será difícil porque podemos dividir a amplitude do
    intervalo (igual a 40-20=20) em 5 partes iguais a 4. Se temos 0,5 de
    probabilidade para a amplitude total de 20, teremos 0,1 para cada parte
    de 4. Assim, vamos atribuir os valores de $ de acordo com o enunciado,
    atribuindo a respectiva probabilidade para o custo que denominaremos
    como P(I):

    Tempo gasto (T) para produzir
    o componente x (em minutos) ….. $ ……. P(I) ……. $.P(I)
    ————————————————————————–
    ……. 0 < T <= 20 …………………. 120 …… 0,3 ……… 36
    …… 20 < T <= 24 ………………… 120 …… 0,1 ……… 12
    …… 24 < T <= 40 ………………. 120+a …. 0,4 ……… 48+0,4a
    …… 40 < T <= 60 ………………. 120+a …. 0,2 ……… 24+0,2a
    ————————————————————————–
    ………….. Total …………………………………. 1 ……….. 120+0,6a = E[$(I)]

    Agora, temos que verificar para qual valor de a, o custo esperado do
    processo II, dado por E[$(II)]=220, é menor do que 75% do custo esperado
    do processo I, dado por E[$(I)]=120+0,6a.
    Logo: 220 220 0,45a > 130
    ==> a > 288,89

    Portanto a afirmativa está ERRADA, pois o valor de a não será inferior a R$75,00, mas sim superior.

    Para a resolução dos três itens restantes (55, 56 e 57), que são mais
    difíceis e trabalhosos, eu vou aguardar o FEEDBACK de vocês a respeito
    do entendimento destes três que eu postei aqui.
    Não adianta continuar com os outros itens se houver dúvida no que foi visto até agora.

    Saudações tricolores. Deus abençoe a todos.

    Pedro Bello

    Prof. Pedro Bello
    Sat, 09/06/07, 11:51 PMMesmo sem ter recebido FEEDBACK a respeito da explicação dos itens anteriores, vou postar mais um item aqui:

    55 Se 4 componentes forem produzidos pelo processo II, a probabilidade
    de exatamente 2 deles serem produzidos entre 0 e 20 minutos é inferior a
    0,4.
    RESOLUÇÃO:
    Vamos considerar como sucesso (S) o componente ter sido produzido no tempo estipulado e como fracasso (F), não ter sido.
    Assim temos as seguintes possibilidades (espaço amostral = 2^4 = 16):
    SSSS ……………… P(S=4)=1/16
    ——
    SSSF
    SSFS
    SFSS
    FSSS ……………… P(S=3)=4/16
    ——
    SSFF
    SFFS
    FFSS
    FSFS
    SFSF
    FSSF ……………… P(S=2)=6/16
    —–
    FFFS
    FFSF
    FSFF
    SFFF ……………… P(S=1)=4/16
    ——
    FFFF ……………… P(S=0)=1/16

    Vemos então que a probabilidade de exatamente 2 deles serem produzidos
    entre 0 e 20 minutos (2 sucessos) é igual a 6/16 = 3/8 = 0,375, que é
    inferior a 0,4. Logo a afirmativa está CORRETA.

    Discriminei o Espaço Amostral apenas para demonstração, pois poderíamos
    obter os mesmos resultados utilizando apenas a Análise Combinatória,
    pois:
    C4,4 = 1 (combinação de 4 em 4);
    C4,3 = 4 (combinação de 4 em 3);
    C4,2 = 6 (combinação de 4 em 2) —> caso que nos interessa (2 sucessos);
    C4,1 = 4 (combinação de 4 em 1);
    C4,0 = 1 (combinação de 4 em 0);

    Então, usando a famosa fórmula P(A) = NCF(A)/NCP, onde A é um evento
    qualquer, a probabilidade de ocorrer A é igual ao número de casos
    favoráveis à ocorrência do evento A (NCF(A)), dividido pelo número de
    casos possíveis (NCP), que nada mais é do que o Espaço Amostral.

    Assim, para o item em tela, teríamos: P(S=2) = 6/16 = 3/8 = 0,375.

    Por esses dias eu postarei as resoluções dos dois itens (55 e 56) que faltam, uma delas bem trabalhosa.

    ————————————————————————————-
    Outro assunto:

    Conforme já coloquei numa mensagem em 21/04/07 para o usuário DST_RJ que
    postou o tópico “DÚVIDA ESTATÍSTICA” para quatro professores do Fórum e
    dos quatro, três (eu, Joselias e Sérgio Carvalho) respondemos com a
    maior presteza e o referido usuário não foi sequer capaz de confirmar a
    leitura e entendimento das mensagens para nenhum de nós. Agradecer? nem
    pensar!

    Não faço nenhuma questão de agradecimento, pois se eu ajudar pensando em
    receber gratidão, não tem validade. Podem me achar chato, mas faço
    questão de que a pessoa que postou a mensagem pelo menos coloque um “OK,
    entendido”, para eu saber que a mensagem foi lida e assimilada. Já está
    de bom tamanho. Acho que é o mínimo que pode fazer uma pessoa que está
    sendo atendida num pedido feito.

    O usuário que postou esta questão com estes 6 itens (também o fez para
    outros 2 professores na mesma data, eu sou o primeiro a estar
    respondendo) não foi capaz sequer de responder ao questionamento que eu
    fiz a respeito do símbolo ininteligível que aparecia. Estou fazendo as
    resoluções porque, como se trata de uma boa questão CESPE, pode
    interessar a outras pessoas. Mas com certeza, para outras questões que
    este e o usuário DST_RJ colocarem, vai funcionar da seguinte maneira:
    final da fila! ou seja, vou responder primeiro aos usuários que tem
    consideração comigo, como a usuária Af_algumacoisa, que tão logo vê as
    minhas respostas, mesmo sem tempo, pelo menos confirma a leitura. Estes
    sim, terão prioridade no atendimento, independentemente da data em que
    colocaram as mensagens.

    Há pouco tempo, um entre tantos outros, enviou-me 3 questões de
    matemática via e-mail e respondi bem rapidamente. Pouco tempo depois,
    sem sequer ter confirmado o recebimento das respostas anteriores, enviou
    mais 10 questões, até fáceis, que logo identifiquei como parte de uma
    prova muito recente para nível médio do TRF. Imprimi o e-mail dele, mas
    está na “geladeira”, só vou pegar para responder quando não tiver
    absolutamente nenhuma outra questão para responder ou material de aula
    para fazer.

    Como todos sabem, ninguém é obrigado a fazer ou deixar de fazer algo,
    senão em virtude da lei. Logo, se quiser confirmar recebimento,
    confirme. Se não quiser não confirme, mas com certeza essa diferença
    estabelecerá a prioridade na minha resposta.

    Peço desculpas pelo desabafo, talvez alguns usuários até se achem no
    direito de me ofender por isso, mas eu sou assim mesmo, podem me chamar
    de chato, mas gosto de usar de absoluta sinceridade e não disfarço o que
    penso. Talvez eu devesse me candidatar ao papel do SUPER-SINCERO!

    Saudações tricolores! Deus abençoe a todos!

    Pedro Bello

    Prof. Pedro Bello
    Sun, 10/06/07, 12:33 PMPrezados colegas:

    “Herrar é umano”, permanecer no erro é burrice. Acordei pensando nesta
    questão e assumo que a solução colocada anteriormente não está correta
    pelo seguinte motivo: A PROBABILIDADE do componente x ser produzido
    entre 0 e 20 minutos É CONHECIDA e é igual a 0,6, conforme tabela:

    Tempo gasto (T) para produzir ……… Processos
    o componente x (em minutos) ………… I ….. II
    ————————————————————
    ……. 0 < T <= 20 ……………………….. 0,3 .. 0,6
    …… 20 < T <= 40 ……………………….. 0,5 .. 0,3
    …… 40 < T P(X=2)= 6.(0,36).(0,16) ==> P(X=2)= 0,3456 que é inferior a 0,4.
    Logo a afirmativa está CORRETA.

    Observe que, se considerássemos p = q = 0,5, substituindo na fórmula da
    Binomial com n = 4, chegaríamos ao mesmo resultado anterior, 0,375. Mas
    isso se a probabilidade de sucesso não fosse conhecida. Como é conhecida
    e igual a 0,6, a probabilidade correta de, entre 4, ter 2 componentes
    produzidos no intervalo especificado é 0,3456.