Q76 a Q79

A tabela abaixo apresenta alguns valores de exp(– u).

A velocidade V de uma molécula em um gás é uma variável aleatória cuja função de distribuição acumulada é dada por:

e , em que b é uma constante real e positiva dada em função da temperatura, da massa molecular e da constante de Boltzman. A energia cinética da molécula é dada por E = aV2, em que a é uma constante que depende da massa molecular. Com base nessas informações e considerando os valores da tabela acima, julgue os itens a seguir.

76
A energia cinética esperada é igual a .

77
A probabilidade de a velocidade estar entre e é inferior a 0,25.

78
A probabilidade de a energia cinética ser inferior a   é maior do que 0,80.

A moda da distribuição da velocidade é igual a .

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  • André Chalella Das Neves

    Nossa, bem lembrado! Tinha feito assim tbm sem nem perceber o deslize.

    O norton abaixo encontrou formalmente a média, mas é complicado fazê-lo na prova. Acho que o jeito correto de fazer esse item seria pela análise dimensional, mesmo, como apontado pelo Mateus.

    Ainda bem que a análise pela mediana (errada) também nos leva a ver que as dimensões estão erradas.

  • norton

    76)
    Como já mencionaram, a função de distribuição de probabilidade acumulada vale
    F(v) = 1-exp(-bV^2) ,

    logo a função densidade de probabilidade é
    f(V) = F’(V)=2bV.exp(-bV^2).

    Segue da definição o valor esperado da energia cinética:
    E [E_c] = E [aV^2] = a.E [V^2] = a.integral_[V^2.f(V) dV] , no intervalo de 0–>oo

    Portanto, E [E_c] = a.integral_0–>oo_[V^2.(2bV.exp(-bV^2)) dV]

    Será então usada a integração por partes:

    integral_0–>oo_[p.q'] = [p.q]_0–>oo – integral_0–>oo_[p'.q]

    Onde p = V^2 e q’ = 2bV.exp(-bV^2)

    Logo p’ = 2V e q = – exp(-bV^2)

    Substituindo na fórmula da integração por partes:

    E [E_c] = a.[-V^2.exp(-bV^2)]_0–>oo – a.integral_0–>oo_[-2V.exp(-bV^2) dV]

    Tem-se que:

    a.[-V^2.exp(-bV^2)]_0–>oo = lim_V–>oo_[-V^2.exp(-bV^2)] – lim_V–>0_[-V^2.exp(-bV^2)]

    O segundo limite sai direto da substituição:

    lim_V–>0_[-V^2.exp(-bV^2)] = lim_[0 vezes 1] = lim_[0] = 0

    No primeiro limite deve-se aplicar L’Hopital:

    lim_[-V^2.exp(-bV^2)] = lim_[-V^2/exp(bV^2)] =

    = lim_[-2V/{2b.V.exp(bV^2)}] = lim_V–>oo_[-1/{b.exp(bV^2)}]

    = lim_[-1/{b.exp(b.oo^2)}] = lim_[-1/oo] = 0

    Logo:

    E [E_c] = – a.integral_0–>oo_[-2V.exp(-bV^2) dV] =

    = a.integral_0–>oo_[2V.exp(-bV^2) dV] = a.[- exp(-bV^2)/b]_0–>oo =

    = a.{lim_V–>oo_[- exp(-bV^2)/b] – lim_V–>0_[- exp(-bV^2)/b]} =

    = a.{lim_[- exp(-b.oo^2)/b] – lim_[- exp(-b.0^2)/b]} =

    = a.{lim_[- 0/b] – lim_[- 1/b]} = a.{0 – [- 1/b]} = a.{1/b} = a/b

    A questão afirmava que E [E_c] = b/a, mas na verdade vale o inverso.

    76 –> E

  • mecanhical

    Este conceito que usaste é o de mediana.
    A média é a integral de -oo até +00 de x.f(x).dx
    donde f(x)= d(Fx)/dx

  • Anônimo

    Eu não consegui fazer, mas dá pra dar um chute bem direcionado. É de se supor que se a energia cinética é proporcional à constante “a”, então não faz muito sentido que o valor esperado da energia seja inversamente proporcional a “a”. Concorda?

  • MasterRS

    76 -> Errada!

  • MasterRS

    A energia cinética esperada é aquela onde v dá um valor de densidade de probabilidade de 0,5 (média)…Portanto: 0,5 = 1 – (e ^(-bv^2)) …Olhando na tabela, bv^2 = 0,7…. Ec = av^2 => Ec = 0,7a/b

  • Prati

    Olá Leletim, se você plotar essa função, verá que ela tende a 1 no infinito.
    Sua resolução utilizando a derivada encontra um ponto, que ao ser comparado ao gráfico plotado, não representa um máximo nem local, nem global.

  • Leletim

    Não consegui a 76. Alguém fez?

  • Leletim

    79 – Moda –> quando o valor da densidade de probabilidade é máximo, ou seja, f(v) = F’(v) é máximo. f(v) = F’(v) = 2bv*exp(-bv^2) 
    f’(v) = 2b*exp(-bv^2)+2bv*(-2bv)*exp(-bv^2)=0
    v=(1/2b)^0,5
    Errado

  • Leletim

    78 – P(0<V<(2/b)^0,5) = F(
    (2/b)^0,5)-F(0)=1-exp(-b*2/b)=1-exp(-2)=1-0,1353=0,8647
    C

  • Leletim

    78-  P(0<V<
    (2/b)^0,5) = F((2/b)^0,5)-F(0)= 1-exp(-b*2/b) = 1-exp(-2)=1-0,1353=0,8647
    C

  • Leletim

    77 – P((1/b)^0,5 <= V <= 
    (2/b)^0,5) = F(
    (2/b)^0,5)-F(
    (1/b)^0,5 ) = [1-exp(-b*2/b)-1+
    exp(-b*1/b)=exp(-1)-exp(-2) = 0,3679-0,1353=0,2326
    C