Q53

Considere, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, a região de área finita e limitada pelos gráficos das funções f(x) = x2 e g(x) = 9. Se a reta y=K  divide essa região em duas partes de áreas iguais, então K é tal que

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

Ver Solução


  • Natalia

    Quando faço a integral de 0 a 9 não obtenho somente a área do primeiro quadrante? Como na questão CESGRANRIO 2010/1 nº 43?

  • Luanna

    Caro Filipe, já que não está batendo o seu resultado da segunda integral, vou tentar transcrever somente esta parte da resolução:
    Integral de (k – xˆ2)dx no intervalo de -sqrt(k) a sqrt(k) = 18 >> 

    (kx – ((xˆ3)/3)) de -sqrt(k) a sqrt(k) = 18  >>

    k(sqrt(k))-((sqrt(k)ˆ3)/3)-k(-sqrt(k))+(((-sqrt(k))ˆ3)/3) = 18  >>

    k(sqrt(k)) - k(sqrt(k))/3 + k(sqrt(k)) - k(sqrt(k))/3 = 18

    4k(sqrt(k)) = 54

    k(sqrt(k)) = 27/2

    kˆ(3/2) = 27/2

    Espero ter ajudado!

  • Filipe Aguiar

    Luanna, resolvi essa questão integrando de -3 a 3. Achei a área = a 36u.a., entretanto, quando fiz a integral de k-x^2, de -sqrt(k) a sqrt(k), a resposta não bateu com o gabarito…

  • Luanna

    Caro Daniel, em casos de funções pares, como é o caso, a questão pode ser simplificada desta forma. Já que existe simetria usamos apenas os valores positivos e encontramos a resposta da mesma maneira. Mas se vc quiser obter o resultado por outra maneira terá que integrar (xˆ2)-9 no intervalo de -3 a 3 em relação ao eixo x. Encontrando 36mˆ2.
    A segunda integração a ser feita é da função k – xˆ2 no intervalo de -raiz(k) a raiz(k) em relação ao eixo x também. Assim, encontrarás a letra B como resposta também.

  • Luanna

    Caro Daniel, em casos de funções pares, como é o caso, a questão pode ser simplificada desta forma. Já que existe simetria usamos apenas os valores positivos e encontramos a resposta da mesma maneira. Mas se vc quiser obter o resultado por outra maneira terá que integrar (xˆ2)-9 no intervalo de -3 a 3 em relação ao eixo x. Encontrando 36mˆ2.
    A segunda integração a ser feita é da função k – xˆ2 no intervalo de -raiz(k) a raiz(k) em relação ao eixo x também. Assim, encontrarás a letra B como resposta também.

  • Luanna

    Nos casos em que f(x) é uma função com valores negativos, o integral definido pode ser positivo, nulo ou negativo e, por isto, nem sempre ser representativo da área.

  • Luanna

    Nos casos em que f(x) é uma função com valores negativos, o integral definido pode ser positivo, nulo ou negativo e, por isto, nem sempre ser representativo da área.

  • Luanna

    Nos casos em que f(x) é uma função com valores negativos, o integral definido pode ser positivo, nulo ou negativo e, por isto, nem sempre ser representativo da área.

  • Luanna

    Nos casos em que f(x) é uma função com valores negativos, o integral definido pode ser positivo, nulo ou negativo e, por isto, nem sempre ser representativo da área.

  • Luanna

    Nos casos em que f(x) é uma função com valores negativos, o integral definido pode ser positivo, nulo ou negativo e, por isto, nem sempre ser representativo da área.

  • Luanna

    Nos casos em que f(x) é uma função com valores negativos, o integral definido pode ser positivo, nulo ou negativo e, por isto, nem sempre ser representativo da área.

  • Luanna

    Nos casos em que f(x) é uma função com valores negativos, o integral definido pode ser positivo, nulo ou negativo e, por isto, nem sempre ser representativo da área.

  • Luanna

    Nos casos em que f(x) é uma função com valores negativos, o integral definido pode ser positivo, nulo ou negativo e, por isto, nem sempre ser representativo da área.

  • daniel

    Pq a primeira integral vai de 0 a 3.. e os valores negativos de x²?

  • daniel

    Pq a primeira integral vai de 0 a 3.. e os valores negativos de x²?

  • Luanna

    Na primeira parte nós integramos em relação ao eixo x, logo a função será y(x)=9-xˆ2.
    Já na segunda parte integramos em relação ao eixo y, como a função constante g(x)=9 não é alcançada(para a metade da área, y<9), a função que teremos que integrar é a f(x). Só que em relação ao eixo y não podemos usar y(x)=xˆ2 e sim x(y)=raiz(y). Espero ter ajudado!

  • Luanna

    Na primeira parte nós integramos em relação ao eixo x, logo a função será y(x)=9-xˆ2.
    Já na segunda parte integramos em relação ao eixo y, como a função constante g(x)=9 não é alcançada(para a metade da área, y<9), a função que teremos que integrar é a f(x). Só que em relação ao eixo y não podemos usar y(x)=xˆ2 e sim x(y)=raiz(y). Espero ter ajudado!

  • Luanna

    Na primeira parte nós integramos em relação ao eixo x, logo a função será y(x)=9-xˆ2.
    Já na segunda parte integramos em relação ao eixo y, como a função constante g(x)=9 não é alcançada(para a metade da área, y<9), a função que teremos que integrar é a f(x). Só que em relação ao eixo y não podemos usar y(x)=xˆ2 e sim x(y)=raiz(y). Espero ter ajudado!

  • Luanna

    Na primeira parte nós integramos em relação ao eixo x, logo a função será y(x)=9-xˆ2.
    Já na segunda parte integramos em relação ao eixo y, como a função constante g(x)=9 não é alcançada(para a metade da área, y<9), a função que teremos que integrar é a f(x). Só que em relação ao eixo y não podemos usar y(x)=xˆ2 e sim x(y)=raiz(y). Espero ter ajudado!

  • Luanna

    Na primeira parte nós integramos em relação ao eixo x, logo a função será y(x)=9-xˆ2.
    Já na segunda parte integramos em relação ao eixo y, como a função constante g(x)=9 não é alcançada(para a metade da área, y<9), a função que teremos que integrar é a f(x). Só que em relação ao eixo y não podemos usar y(x)=xˆ2 e sim x(y)=raiz(y). Espero ter ajudado!

  • Luanna

    Na primeira parte nós integramos em relação ao eixo x, logo a função será y(x)=9-xˆ2.
    Já na segunda parte integramos em relação ao eixo y, como a função constante g(x)=9 não é alcançada(para a metade da área, y<9), a função que teremos que integrar é a f(x). Só que em relação ao eixo y não podemos usar y(x)=xˆ2 e sim x(y)=raiz(y). Espero ter ajudado!

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Mirterra

    Não entendi a segunda parte (integral da raiz(y)). Como assim? Integral de (9-x²) no intrvalo de 0 a K?
    Se for isso, como q eu resolvo a equação de 3o. grau pra K?

  • Luanna

    Temos que a área total pedida é a integral de (9 – xˆ2) no intervalo de 0 a 3, em relação ao eixo x.
    Assim, o resultado encontrado é 18mˆ2.
    O enunciado diz que y=K divide essa região pela metade, portanto agora fazemos a integral da raiz(y) no intervalo de 0 a K, em relação ao eixo y e igualamos a 9(metade da área encontrada anteriormente).
    Resultando em Kˆ(3/2) = 27/2.

  • Luanna

    Temos que a área total pedida é a integral de (9 – xˆ2) no intervalo de 0 a 3, em relação ao eixo x.
    Assim, o resultado encontrado é 18mˆ2.
    O enunciado diz que y=K divide essa região pela metade, portanto agora fazemos a integral da raiz(y) no intervalo de 0 a K, em relação ao eixo y e igualamos a 9(metade da área encontrada anteriormente).
    Resultando em Kˆ(3/2) = 27/2.