Q56

Considere uma função f :R→R, satisfazendo às seguintes condições:

  • f(x), f’(x) e f”(x) são contínuas em R.
  • f’(-1) = f’(1) = f’(3) = 0;
  • f’(x) > 0 no intervalo (1, 3);
  • f’(x) < 0 em (-∞, -1) (-1, 1) (3, +∞).

Nessa situação, é correto afirmar que a função f

(A) possui um mínimo local em x = -1.
(B) possui um máximo local em x = 1.
(C) é injetiva.
(D) possui um máximo local em x = 3.
(E) é necessariamente sobrejetiva.

Ver Solução


  • Pedro ivo

    ninguém garante que para valores menores que -1 todo o contra-domínio será imagem, isso é, podem haver Y sem seus respectivos X. pode haver uma assintota por exemplo.

  • Japa

    Como é máximo “local” ou “relativo”, o raciocínio é exatamente esse! Já se fosse o máximo “global” ou “absoluto” não poderíamos afirmar.

  • Raphael

    Alguém pode explicar porque essa função não é necessariamente sobrejetiva? Já que quando maior que 3 e menos que -1 é decrescente e entre esses dois números é crescente. Realmente fiquei com essa dúvida.

  • Eu

    Pense no ponto 3. A derivada antes do ponto é Positiva e depois  é negativa, logo fez-se um “topo” em 3. Assim 3 é um pto de máximo.

  • Anônimo

    Veja bem, a derivada da função é nula em x=-1, indicando que é um ponto crítico. Porém a questão fala que a derivada é negativa (isto é, a função é decrescente) de -infinito até -1 (excluindo ele), mas continua negativa de -1 a 1. Ou seja, a função continua decrescendo, indicando que não há um ponto de mínimo nesse intervalo. O que existe é um ponto de inflexão, isto é, a concavidade da curva muda.

  • Sidney

    Uma função é sobrejectiva (ou sobrejetiva ou sobrejetora) quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio da função.
    Sabemos que x vai de menos infinito a mais infinito. Não podemos afirmar se y vai de menos infinito a mais infinito. Como não podemos provar a sobrejetividade, descartamos o item E.

  • Giovsena

    mas se a derivada é negativa de menos infinito até menos um, fica nula nesse ponto, e depois continua sendo negativa até o ponto x=1, não se pode falar que em x=-1 ela possui um mínimo local já que com certeza o valor da função em x=1 é menor do q em x= -1 pela continuidade da negatividade da derivada nesse intervalo?

  • Mirella

    corrigindo, ela não pode ser injetiva, elimina-se a letra “C”

  • Mirella

    Analisando f’(x)>0 em (1,3), a função possui um mínimo em 1 e um máximo em 3, o que elimina as letras “A” e “B”. Como a função possui um mínimo e um máximo, ela não pode ser injetiva, logo elimina-se a letra “D”.
    Resposta: letra D
    (não soube explicar o pq da letra E está errada)