Q30

Uma pirâmide reta de base quadrada tem todas as suas arestas iguais a k. Um plano α, perpendicular à base BCDE, corta as arestas laterais AB e AC em seus respectivos pontos médios, P e Q. Determine o volume do sólido BMPQNC.

(A) \frac{5k^3 \sqrt{2}}{192} (B) \frac{5k^3 \sqrt{2}}{96} (C) \frac{k^3 \sqrt{2}}{24} (D) \frac{k^3 \sqrt{2}}{96} (E) \frac{k^3 \sqrt{2}}{192} Ver Solução

Gabarito: A

Solução em breve.


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tarzanLgustavoDan LuandaTiago Recent comment authors
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tarzan
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tarzan

Solução (com conhecimentos de ensino médio)
1) Dividir o sólido em 2 pirâmides iguais e uma cunha. (Traçar retas perpendiculares à PQ do ponto P e Q ao lado BC para visualizar melhor)
2) Achar as dimensões de interesse por semelhança e pitágoras.
3) Algebrismo.

Lgustavo
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Lgustavo

K.3^0.5/4

Lgustavo
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Lgustavo

Mas a hipotenusa do triÂngulo formado pelas medianas de PQ,MN e BC não seria metade da altura do triângulo ABC??VAlendo K.3^0.5/2?

Dan Luanda
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Dan Luanda

Caramba Jrog, voce destruiu a questao! Eh isso mesmo, volume do prisma irregular. Com a formula sai redondinha a resposta! Show! 

Anônimo
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Anônimo

Eu só sei fazer de um jeito e é o jeito que eu mais confio considere: -o eixo que passa pelo centro do quadrado BCDE e pelo ponto médio de BC o eixo x; -e o eixo que passa pelo centro do quadrado BCDE e pelo ponto A o eixo y. Temos o diferencial de Volume igual a: dV = Adx, onde A é a área do trapézio. Agora temos que achar A em função de x. -a reta MN é constante, temos então que MN=k; -se x=0 então PQ=0 e se x=k/2 então PQ=k temos então que PQ=2*x; -é… Read more »

Tiago
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Tiago

O gabarito está certo: O volume da pirâmide é (1/3)*Ab*h, sendo Ab a área da base (um quadrado de lado “k”) e h a altura da pirâmide, a qual pode ser obtida por um triângulo retângulo pegando a metade da diagonal da base. Fazendo-se este cálculo, encontra-se um volume de  Vtotal = (r2/6)*k³ (r2 = raiz quadrada de dois). Observando-se que a região indicada é da metade da pirâmide pra baixo, podemos encontrar o volume do tronco de pirâmide que inclui esta região como sendo: Vtronco = Vtotal – Vmenor  , sendo: Vmenor/Vtotal = (Hmenor/h)³ onde Hmenor e Vmenor correspondem… Read more »

Rpisa
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Rpisa

Confirmo tb, a respota esta em funcao de raiz(3)

Luiz Henrique
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Luiz Henrique

Eng Damasio, eu também encontrei os mesmos valores que você, e minha resposta está em função de raiz de 3 e não em função de raiz de 2 como na resposta correta, apenas isso está diferente.

Luciofortal
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Luciofortal

como você encontrou essa hipotenusa, e esses catetos?

Jrog
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Jrog

O triângulo da seccão transversal não é o PMB. O triângulo da seccão tranversal é o que é determinado por um corte perpendicular a uma das arestas PQ, MN ou BC. Por exemplo, se você faz um corte passando pelas medianas das arestas PQ, MN ou BC, então o triângulo formado tem as medidas que eu explicitei acima.

Jrog
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Jrog

O triângulo da seccão transversal não é o PMB. O triângulo da seccão tranversal é o que é determinado por um corte perpendicular a uma das arestas PQ, MN ou BC. Por exemplo, se você faz um corte passando pelas medianas das arestas PQ, MN ou BC, então o triângulo formado tem as medidas que eu explicitei acima.

Jrog
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Jrog

O triângulo da seccão transversal não é o PMB. O triângulo da seccão tranversal é o que é determinado por um corte perpendicular a uma das arestas PQ, MN ou BC. Por exemplo, se você faz um corte passando pelas medianas das arestas PQ, MN ou BC, então o triângulo formado tem as medidas que eu explicitei acima.

Jrog
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Jrog

O triângulo da seccão transversal não é o PMB. O triângulo da seccão tranversal é o que é determinado por um corte perpendicular a uma das arestas PQ, MN ou BC. Por exemplo, se você faz um corte passando pelas medianas das arestas PQ, MN ou BC, então o triângulo formado tem as medidas que eu explicitei acima.

Eng Damasio
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Eng Damasio

Eu achei o lado PM como k*3^0.5/4 e não a hipotenusa. E o lado PB achei como K/2 já que todas as arestas são k, inclusive AB. Como PB=AB/2… Por pitágoras achei que MB=k/4. Desta forma não encontrei a resposta comom vc. Entendi o desenvolvimento da sua resolução só não entendi como a chegou ao valor da hipotenusa. Pode explicitar, por favor?

Eng Damasio
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Eng Damasio

Eu achei o lado PM como k*3^0.5/4 e não a hipotenusa. E o lado PB achei como K/2 já que todas as arestas são k, inclusive AB. Como PB=AB/2… Por pitágoras achei que MB=k/4. Desta forma não encontrei a resposta comom vc. Entendi o desenvolvimento da sua resolução só não entendi como a chegou ao valor da hipotenusa. Pode explicitar, por favor?

Eng Damasio
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Eng Damasio

Eu achei o lado PM como k*3^0.5/4 e não a hipotenusa. E o lado PB achei como K/2 já que todas as arestas são k, inclusive AB. Como PB=AB/2… Por pitágoras achei que MB=k/4. Desta forma não encontrei a resposta comom vc. Entendi o desenvolvimento da sua resolução só não entendi como a chegou ao valor da hipotenusa. Pode explicitar, por favor?

Eng Damasio
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Eng Damasio

Eu achei o lado PM como k*3^0.5/4 e não a hipotenusa. E o lado PB achei como K/2 já que todas as arestas são k, inclusive AB. Como PB=AB/2… Por pitágoras achei que MB=k/4. Desta forma não encontrei a resposta comom vc. Entendi o desenvolvimento da sua resolução só não entendi como a chegou ao valor da hipotenusa. Pode explicitar, por favor?

Eng Damasio
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Eng Damasio

Eu achei o lado PM como k*3^0.5/4 e não a hipotenusa. E o lado PB achei como K/2 já que todas as arestas são k, inclusive AB. Como PB=AB/2… Por pitágoras achei que MB=k/4. Desta forma não encontrei a resposta comom vc. Entendi o desenvolvimento da sua resolução só não entendi como a chegou ao valor da hipotenusa. Pode explicitar, por favor?

Eng Damasio
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Eng Damasio

Eu achei o lado PM como k*3^0.5/4 e não a hipotenusa. E o lado PB achei como K/2 já que todas as arestas são k, inclusive AB. Como PB=AB/2… Por pitágoras achei que MB=k/4. Desta forma não encontrei a resposta comom vc. Entendi o desenvolvimento da sua resolução só não entendi como a chegou ao valor da hipotenusa. Pode explicitar, por favor?

Jrog
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Jrog

Opa, falha minha, cheguei no valor certo, mas escrevi E, o correto é a A.

Eng Damasio
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Eng Damasio

A resposta certa é “A”ou “E”?

Jrog
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Jrog

Esse volume é um prisma nao regular. A formula do seu volume é:

V=((PQ+MN+BC)/3)*Area da seccao tranversal

O triangulo da seccao transversal é reto com hipotenusa k*3^0.5/4, catetos k*2^0.5/4 e k/4. Area da seccao tranversal = k^2*2^0.5/32.

V= ((5k/2)/3)*k^2*2^0.5/32=5k^3*2^0.5/192

Letra E

Jrog
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Jrog

Esse volume é um prisma nao regular. A formula do seu volume é:

V=((PQ+MN+BC)/3)*Area da seccao tranversal

O triangulo da seccao transversal é reto com hipotenusa k*3^0.5/4, catetos k*2^0.5/4 e k/4. Area da seccao tranversal = k^2*2^0.5/32.

V= ((5k/2)/3)*k^2*2^0.5/32=5k^3*2^0.5/192

Letra E

Marcelafbsantanna
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Marcelafbsantanna

cadê a solução?