Q44

As unidades comumente utilizadas por veículos náuticos para expressar distâncias e velocidades são, respectivamente, a milha náutica e o nó. Um nó corresponde a 1 milha náutica por hora. A figura acima ilustra dois pequenos barcos que se movimentam com velocidades constantes, em trajetórias perpendiculares. Quando os barcos A e B estão, respectivamente, a 0,8 e 0,6 milhas náuticas do ponto P, interseção das trajetórias, qual a taxa, em nós, com a qual os barcos estão se aproximando um do outro?

(A) 0,0
(B) 4,8
(C) 5,0
(D) 6,2
(E) 7,0

Ver Solução
Gabarito: B

No momento em que A está a o,8 milhas e B está a o,6 milhas, a distância entre os barcos é z=√(0,62+0,82) = 1,0 , calcula por teorema de Pitágoras.

Ainda usando o teorema de Pitágoras, podemos escrever:

z^2 = a^2 + b^2

Derivando implicitamente a equação acima com relação ao tempo:

\displaystyle 2.z.\frac{dz}{dt} = 2.a.\frac{da}{dt} + 2.b.\frac{db}{dt}

Substituindo os valores dados no enunciado:

\displaystyle 2 . 1 .\frac{dz}{dt} = 2 . 0,8 . 3 + 2 .0,6 .4 \displaystyle \frac{dz}{dt} = 4,8


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A hipotenusa do triângulo é a velocidade de aproximação dos barcos, dada por pitágoras:
cateto1 =  (0.8-3t)
cateto2 = (0.6-4t)
H=Sqrt[(0.8-3 t)^2 + (0.6-4t)^2]

desenvolvendo:

H = Sqrt[1.- 9.6 t + 25. t^2]

Derivando:

DH/DT = (-9.6 + 50. t)/(2 Sqrt[1.- 9.6 t + 25. t^2])

para o instante inicial t=0:

DH/DT=-4.8

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A hipotenusa do triângulo é a velocidade de aproximação dos barcos, dada por pitágoras:
cateto1 =  (0.8-3t)
cateto2 = (0.6-4t)
H=Sqrt[(0.8-3 t)^2 + (0.6-4t)^2]

desenvolvendo:

H = Sqrt[1.- 9.6 t + 25. t^2]

Derivando:

DH/DT = (-9.6 + 50. t)/(2 Sqrt[1.- 9.6 t + 25. t^2])

para o instante inicial t=0:

DH/DT=-4.8

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A hipotenusa do triângulo é a velocidade de aproximação dos barcos, dada por pitágoras:
cateto1 =  (0.8-3t)
cateto2 = (0.6-4t)
H=Sqrt[(0.8-3 t)^2 + (0.6-4t)^2]

desenvolvendo:

H = Sqrt[1.- 9.6 t + 25. t^2]

Derivando:

DH/DT = (-9.6 + 50. t)/(2 Sqrt[1.- 9.6 t + 25. t^2])

para o instante inicial t=0:

DH/DT=-4.8