Q45

Se um cabo flexível estiver suspenso por suas extremidades, e essas extremidades estiverem na mesma altura, então o cabo assume, devido ao seu peso, a forma de uma curva chamada catenária.
Considere a catenária dada pela função hiperbólica de IR em IR cuja lei é f(x) = 2 + (2/3).cosh(x) . O valor mínimo de f(x)

(A) é 0
(B) é 2/3
(C) é 2
(D) é 8/3
(E) não existe

Ver Solução
Gabarito: D

Para resolver a questão é necessário lembrar que:

cosh(x) = (ex+e-x)/2

Assim a função fica:

f(x) = 2 + (2/3).(ex+e-x)/2

f(x) = 2 + (1/3).(ex+e-x)

Derivando e igualando a zero para encontrar os pontos críticos:

f'(x) = (1/3).ex + (1/3).e-x.(-1) = 0

ex=e-x → x = 0

Para verificar se é ponto de mínimo ou de máximo precisamos checar a segunda derivada:

f”(x) = (1/3).ex + (1/3).e-x → f”(0) = 2/3

Como f”(x) > 0, temos um ponto de mínimo.

 

Ou seja, quando x = o → f(x) = 2+(2/3).(e0+e-0)/2 = 2+(2/3).(1+1)/2 → f(x) = 8/3 é ponto de mínimo.


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Eu
Visitante
Eu

Ta de brinks!

Dan Luanda
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Dan Luanda

Pessoal, tem como fazer essa questão sem nem usar derivada. 

É só lembrar (ou saber) do gráfico da função y=cosh(x), que é algo de forma parecida com a de uma parábola, com concavidade para cima, e mínimo no valor de y=1. (pena que não dá pra desenhar). Ou seja, o valor mínimo de cosh(x) é 1, e o máximo é o +infinito. 

Ainda, se não souber o gráfico, mas souber o conjunto imagem de y=cosh(x), resolve tambem, pois cosh(x) é uma função com conjunto imagem em [1,+infinito[. Logo, substituindo cosh(x)=1 na equação da questão, tem-se f(x) = 8/3.

Erpaixao
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Erpaixao

Lembrar a derivada da função hiperbólica é dureza hein…

Thiago_Ormonde
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Thiago_Ormonde

“D”. Derivando a função e igualando a zero, achamos o seu ponto crítico, então:

f`(x) = senh(x), igualando a zero temos: senh(x) = 0 então: x = 0 (é um ponto crítico)

Com f ”(x) confirmamos se este ponto crítico (x=0) é de máximo ou mínimo. Então:

f ”(x) = cosh(x), igualando a zero temos: cosh(0) = 1, ou seja, como f ”(x) > 0, o ponto x = 0 é mínimo!

Substituindo na função original ( x = 0 ):

2/3.cosh(0) + 2 = 8/3

Maluco
Visitante
Maluco

pqp q questão safada.

Nilton Franca
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Nilton Franca

Então, se x=-x, temos que 2x=0, logo x=0!!

Mariowpp
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Mariowpp

e^x = -e^-x  
e^x = -(1/e^x)  
e^2x = -1

Não existe valor de x.

dan
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dan

nao entendo pq x=0? no meu ponto de vista, deveria ser x=-x

dan
Visitante
dan

nao entendo pq x=0? no meu ponto de vista, deveria ser x=-x

dan
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dan

nao entendo pq x=0? no meu ponto de vista, deveria ser x=-x

dan
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dan

nao entendo pq x=0? no meu ponto de vista, deveria ser x=-x