Q26

Considere a transformação linear T: R2→R2 , tal que T(1, 0) = (–1, 1) e T(0, 1) = (3, 2). Sendo λ1 e λ2 os autovalores de T, tem-se que de T, λ1 e λ2 reais e λ1 > λ2 tem-se que:
(A) λ1 + λ2 = -1
(B) λ1 + λ2 = -5
(C) λ1 – λ2 = √21
(D) λ1.λ2 = 5
(E) λ12 = 11+√21

Ver Solução
Gabarito: C

A matriz de transformação é \displaystyle T=\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.

Para calcular os autovalores, basta fazer o determinante \displaystyle \begin{vmatrix} -1-\lambda & 3 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}=0.

(-1-λ).(2-λ) – 3 = 0

λ2 – λ – 5 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau:

Δ=21

λ1= (1+√21)/2  e  λ2= (1-√21)/2

Assim λ12=√21

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PedroRaislei SantanaCamuflado_nunca_maisAlexandreAndré Recent comment authors
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Pedro
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Pedro

Para achar a matriz de transformação:
T(X,Y) = X(T(1,0)) + Y(T(0,1))
T(X,Y) = X(-1,1) + Y(3,2)
T(X,Y)=(-X+3Y,X+2)
Logo,
|-1 3| | X| = Tx

|1 2| |Y| Ty

O resto está na solução

Raislei Santana
Visitante
Raislei Santana

Alguem sabe me responder porque a matrix T nao seria -1 1. ? Obrigado 3 2

Camuflado_nunca_mais
Visitante
Camuflado_nunca_mais

bem fácil essa…como todas as de AlgeLin da Cesgranrio

Alexandre
Visitante
Alexandre

Da questão você tem um vetor v1:(1,0) e o outro v2:(0,1), ou seja, dois vetores l.i. e, portanto, são base do R². Assim, você pode fazer combinação linear deles e terá um vetor v=av1+bv2. Como v=(x,y) então: v=a(1,0)+b(0,1), ou seja, x=a e y=b, ou melhor, em função de x e y, a=x e b=y. Sabemos também que é válida a igualdade T(v)=aT(v1)+bT(v2), desde que v1 e v2 sejam bases do R², como agente observou. Agora basta substituir os valores e encontraremos = T(x,y)=x(-1,1)+y(3,2). Daí, T(x,y)=(-x+3y,x+2y). Note no espaço “x” é a primeira linha da matriz A e no espaço “y”… Read more »

André
Visitante
André

a questão eh achar a matriz de transformação!! Tem que ter a manha para acertar!!

Henrique
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Henrique

Ja entendi o que aconteceu… Retiro o que disse !!!

Henrique
Visitante
Henrique

Eu descordo deste gabarito, pois ao aplicar bascara ele nao levou em consideracao o sinal de B, logo a resposta deveria ser a opcao A… Alguem saberia explicar pq ele nao levou em consideracao o sinal ?

Igor Sheldon
Visitante
Igor Sheldon

Na verdade ele se refere a essa fórmula:
DET[A – lamba*I] = 0
onde A é a matriz de tranformação;
lamba é o auto valor; e
I é a matriz identidade.

Tenta fazer a questão a partir dessa fórmula que você acerta sem dificuldades.

Igor Sheldon
Visitante
Igor Sheldon

Na verdade ele se refere a essa fórmula:
DET[A – lamba*I] = 0
onde A é a matriz de tranformação;
lamba é o auto valor; e
I é a matriz identidade.

Tenta fazer a questão a partir dessa fórmula que você acerta sem dificuldades.

Cleristonadonai
Visitante
Cleristonadonai

Não entendi a parte que diz que para calcularmos o autovalor devemos fazer a determinante.
Quem puder me ajudar…

Cleristonadonai
Visitante
Cleristonadonai

Não entendi a parte que diz que para calcularmos o autovalor devemos fazer a determinante.
Quem puder me ajudar…