Q13

Dada a função f:R→R definida por f(x) = ln(3x + 1), o valor de  é
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 6

Ver Solução

Gabarito: E

Podemos reescrever o limite como \lim_{x \to 0}\dfrac{f(2x)-f(0)}{x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{ln(6x+1)}{x}.

Substituindo x=0 encontramos 0/0, o que indica que podemos derivar numerador e denominador (Regra de L’Hopital)

Assim, derivando e substituindo x=0 temos que \lim_{x \to 0}\dfrac{6}{6x+1}=6

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LuizMalucoAlexandreVictor ZochRter Recent comment authors
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Luiz
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Luiz

pelo limite segundo limite fundamental sai facil…

Maluco
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Maluco

Bixo, L’Hospital é o q há….

Alexandre
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Alexandre

Vc com ctz fez pra f(x) e nao f(2x)

Victor Zoch
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Victor Zoch

Outra maneira de responder seria multiplicar em cima e em baixo por 2. Ficaríamos com:

2 . lim [ f(2x) – f(0) ] / 2x , x->0, ou 2 . lim [ f(0+h) – f(0) ] / h, h->0 , com h=2x

Não há problema em se fazer isso, já que se x tende para 0, 2x também tenderá para 0.
Com isso estamos calculando duas vezes a derivada da função x no ponto zero. Daí em diante basta resolver, vai dar 6 mesmo (letra E).

Rter
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Rter

O valor correto é 3. Pode-se verificar fazendo uma planilha com os valores da função quando x se aproxima de zero.

Vivien Rossbach
Visitante
Vivien Rossbach

Como temos uma divisão por zero (x tende a zero), é necessário aplicar a regra de L’Hôpital. A regra consiste em derivar separadamente o numerador e o denominador. Depois, fazer o limite tendendo a zero das derivadas.

1 – Calcular f(2x) e f(0)

f(2x) = ln(3*2x+1) = ln(6x+1)
f(0) = ln(3*0+1) = ln(1)

2 – Montar o limite:

lim (ln(6x+1)-ln(1))/x

3 – Aplicar regra de L’Hôpital

f'(ln(6x+1)) = 6*1/(6x+1) = 6/(6x+1)

f'(ln(1)) = 0

f'(x) = 1

4 – Aplicar o limite tendendo a zero das derivadas

lim (x→0) 6/(6x+1 ) = lim(x→0) 6/(0+1) = 6 (letra e)