Q3

Seja S o subespaço vetorial de R3 formado por todos os ternos (x, y, z) que são soluções do sistema linear

Considere as seguintes afirmativas relativas a S:

I-S é o espaço gerado pelos vetores (2, 1, 3) e (1, –1, 2);
II-todos os vetores em S são ortogonais ao vetor (2, 1, 3);
III-S tem dimensão 0.

Está correto APENAS o que se afirma em
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) I e II.
(E) II e III.

Ver Solução
Gabarito: B

Solução em breve.

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Ananias Emmerick
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Ananias Emmerick

Agora entendi.

Ananias Emmerick
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Ananias Emmerick

Rodrigo, se for assim a dimensão não seria 2? Porque em relação a X, teríamos como variáveis livres Y e Z, ou não?

Ananias Emmerick
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Ananias Emmerick

Se for isso, a dimensão não seria 2, porque em relação a X, Y e Z seriam variáveis livres, ou não?

eng91
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eng91

Porque você trouxe os termos para X? Poderia ser para outra dimensão?

Thiago Ormonde
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Thiago Ormonde

Está correta sim Fdsalvo! Eu também fiz do mesmo jeito! 
Só na afirmativa III que eu tenho um adendo a fazer. No caso é um subespaço e não um vetor, e subespaço pode sim ter dimensão 0. 

E mais uma, se fomos perceber este subespaço S gerado é uma reta! ;)

alexandrearc
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alexandrearc

Rodrigo, uma maneira rápida de descobrir é sabendo que a dimensão de um subespaço vetorial é igual ao número de variáveis livres do sistema.

Anônimo
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Anônimo

A dimensão é 1 porque S é um subespaço gerado por apenas um vetor. Se a alternativa I fosse verdadeira, por exemplo, a dimensão seria 2.

Rodrigo
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Rodrigo

Por que a dimensão é 1, pensei que fosse 2 :(
Como se acha a dimensão?

Rones Júnior
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Rones Júnior

Ryu, o vetor é: (X, -X/5, -3X/5)

Ryu
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Ryu

2X + Y + 3Z = 0 (I) e X – Y + 2Z = 0 (II)

I + II = 3X + 5Z = 0 ; Z= -3X/5

Z NA Eq (I) temos  Y =-X/5

Logos temos o vetor (X, -X/5, -3/5) = X(1, -1/5, -3/5)

A – ERRADA  – S É GERADO POR (1, -1/5, -3/5)
B – CORRETA – (1, -1/5, -3/5) . (2,1,3) = 2-1/5-9/5 = 0, LOGO SÃO ORTOGONAIS
C – ERRADA –  dim(S) = 1

Ryu
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Ryu

2X + Y + 3Z = 0 (I) e X – Y + 2Z = 0 (II)

I + II = 3X + 5Z = 0 ; Z= -3X/5

Z NA Eq (I) temos  Y =-X/5

Logos temos o vetor (X, -X/5, -3/5) = X(1, -1/5, -3/5)

A – ERRADA  – S É GERADO POR (1, -1/5, -3/5)
B – CORRETA – (1, -1/5, -3/5) . (2,1,3) = 2-1/5-9/5 = 0, LOGO SÃO ORTOGONAIS
C – ERRADA –  dim(S) = 1

Lucio Santolli
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Lucio Santolli

Solução:Temos duas equações e três variáveis, portanto uma é livre. Vamos duas variáveis em função da terceira. , logoAssim, as soluções do sistema são da seguinte forma (-5y,y,3y), ou seja, as soluções são vetores da forma:Outra forma de achar a base é fazer o produto vetorial entre os vetores normais dos planos representados pelas equações do sistema. Ou seja,Então a base que gera o subepaço de solucões é {(-5,1,3)} e tem dimensão 1 (apenas um vetor LI).Analisando as proposições:I – Falso. É gerado por (-5,1,3).II – (-5,1,3) . (2,1,3)=0. VerdadeiroIII – S tem dimensão 1

Lucio Santolli
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Lucio Santolli

Solução:Temos duas equações e três variáveis, portanto uma é livre. Vamos duas variáveis em função da terceira. , logoAssim, as soluções do sistema são da seguinte forma (-5y,y,3y), ou seja, as soluções são vetores da forma:Outra forma de achar a base é fazer o produto vetorial entre os vetores normais dos planos representados pelas equações do sistema. Ou seja,Então a base que gera o subepaço de solucões é {(-5,1,3)} e tem dimensão 1 (apenas um vetor LI).Analisando as proposições:I – Falso. É gerado por (-5,1,3).II – (-5,1,3) . (2,1,3)=0. VerdadeiroIII – S tem dimensão 1

Lucio Santolli
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Lucio Santolli

Solução:Temos duas equações e três variáveis, portanto uma é livre. Vamos duas variáveis em função da terceira. , logoAssim, as soluções do sistema são da seguinte forma (-5y,y,3y), ou seja, as soluções são vetores da forma:Outra forma de achar a base é fazer o produto vetorial entre os vetores normais dos planos representados pelas equações do sistema. Ou seja,Então a base que gera o subepaço de solucões é {(-5,1,3)} e tem dimensão 1 (apenas um vetor LI).Analisando as proposições:I – Falso. É gerado por (-5,1,3).II – (-5,1,3) . (2,1,3)=0. VerdadeiroIII – S tem dimensão 1

Jrog
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Jrog

I-Falsa, é a equação de uma reta, portanto há somente um vetor diretor.
II-Verdadeira, (2,1,3) é ortogonal ao plano 2x+y+3z=0, como a reta pertence a este plano também é ortogonal à este vetor.
III-Falsa, S tem dimensão 1.

Letra B.

Ricardo
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Ricardo

Como esta questão está sem resposta, irei postar a resolução que acho correta:
Como temos duas equações, a solução será o encontro destes dois planos, logo uma reta no espaço vetorial – Logo a afirmação III é falsa. A reta encontrada terá como vetor diretor o vetor resultado do produto vetorial dos vetores (2,1,3) e (1,-1,2) – Logo as afirmações I e II serão verdadeiras.
Resposta (D)

Fdsalvo
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Fdsalvo

I – Errado, a resposta é o vetor ortogonal gerado pelos dois vetores , Produto vetorial de
(2,3,-2)x(1,-1,2) = (5,-1,-3)
Imagine dois planos se cruzando como em um X, e o vetor de intersecção sendo a resposta.

II – Correto, pois S foi gerado por produto vetorial deste e outro vetor. Dúvida ver produto vetorial e consequências

III – Falso, um vetor não tem 0 dimensões

Não garanto que a resposta esteja certa!

Welbert
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Welbert

Respondi na questão errada. Já postei essa resposta na Q2. Não sei como apagar aqui.

Welbertalves
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Welbertalves

errada – a. Os vetores não são ortogonais pois o produto escalar (u.v) é diferente de 0; errada – b. u não é vetor unitário, pois ||u|| = raiz(2)/2, a norma (comprimento) tem que ser 1; errada – c. não possuem a mesma direção pois não existe combinação linear entre os mesmos, ou seja, não existe k tal que u = k*v. correta – d. Se fizermos: u . v = ||u|| * ||v|| *cos(alfa) acharemos um cosseno negativo, caracteristico de 2º e 3º quadrantes. Assim, o menor angulo entre eles é obtuso. errada – e. u não é vetor… Read more »