Q33

Uma matriz quadrada A, de ordem 2, é tal que a soma dos elementos de cada linha e de cada coluna é igual a 3. Considere as afirmativas abaixo.

I- (1, 1) é necessariamente um autovetor de A.
II- 3 é necessariamente um autovalor de A.
III- (1, 0) é necessariamente um autovetor de A.

Está correto o que se afirma em
(A) I, apenas.
(B) II, apenas.
(C) III, apenas.
(D) I e II, apenas.
(E) I, II e III.

Ver Solução
Gabarito: D

Solução em breve.


14
Deixe um comentário

avatar
9 Comment threads
5 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
8 Comment authors
ABCLIKTRVivien Rossbach Recent comment authors
newest oldest most voted
ABC
Visitante
ABC

Você tem razão, para v(1,0) tem solução, mas apenas para o caso da matriz [ 3 0] [0 3], Ou seja, seria um autovetor apenas para essa matriz, e na afirmativa diz que “necessariamente” seria um autovetor, ou seja, teria de ser um autovetor para todas a matrizes possíveis.

LI
Visitante
LI

Ei,
por que 1,0 não serve? Daria certo caso a=3…

Anônimo
Visitante
Anônimo

Eu solucionei isso de uma maneira bem mais rápida, não demorou nem cinco minutos. É só entender o conceito de auto-valor e auto-vetores. Um autovetor é aquele que, ao sofrer uma transformação linear, continua tendo a mesma direção, ou seja, fica igual ao original, multiplicado por uma constante (que é chamada de autovalor). Então, se A=[a b]                     [c d] e              x = [1]                    [1] então Ax será [a+b]                … Read more »

KTR
Visitante
KTR

Aproveitando toda a teoria mostrada pelo LuisinhoCosta: Matriz A :   a   b                 c   d a + b = 3 a + c = 3 Então c = b a + c = 3 c + d = 3 Então a = d Portando, matriz A:  a   b                             b   a E também b = 3 – a. Seja λ um autovalor de A, v um autovetor de A [ v = (v1 , v2) ]… Read more »

KTR
Visitante
KTR

Aproveitando toda a teoria mostrada pelo LuisinhoCosta: Matriz A :   a   b                 c   d a + b = 3 a + c = 3 Então c = b a + c = 3 c + d = 3 Então a = d Portando, matriz A:  a   b                             b   a E também b = 3 – a. Seja λ um autovalor de A, v um autovetor de A [ v = (v1 , v2) ]… Read more »

KTR
Visitante
KTR

Aproveitando toda a teoria mostrada pelo LuisinhoCosta: Matriz A :   a   b                 c   d a + b = 3 a + c = 3 Então c = b a + c = 3 c + d = 3 Então a = d Portando, matriz A:  a   b                             b   a E também b = 3 – a. Seja λ um autovalor de A, v um autovetor de A [ v = (v1 , v2) ]… Read more »

KTR
Visitante
KTR

Aproveitando toda a teoria mostrada pelo LuisinhoCosta: Matriz A :   a   b                 c   d a + b = 3 a + c = 3 Então c = b a + c = 3 c + d = 3 Então a = d Portando, matriz A:  a   b                             b   a E também b = 3 – a. Seja λ um autovalor de A, v um autovetor de A [ v = (v1 , v2) ]… Read more »

KTR
Visitante
KTR

Aproveitando toda a teoria mostrada pelo LuisinhoCosta: Matriz A :   a   b                 c   d a + b = 3 a + c = 3 Então c = b a + c = 3 c + d = 3 Então a = d Portando, matriz A:  a   b                             b   a E também b = 3 – a. Seja λ um autovalor de A, v um autovetor de A [ v = (v1 , v2) ]… Read more »

KTR
Visitante
KTR

Aproveitando toda a teoria mostrada pelo LuisinhoCosta: Matriz A :   a   b                 c   d a + b = 3 a + c = 3 Então c = b a + c = 3 c + d = 3 Então a = d Portando, matriz A:  a   b                             b   a E também b = 3 – a. Seja λ um autovalor de A, v um autovetor de A [ v = (v1 , v2) ]… Read more »

Vivien Rossbach
Visitante
Vivien Rossbach

RESOLUÇÃO 1 – ENCONTRAR A MATRIZ Pode ser A = (1 2) (2 1) ou A = (2 1) (1 2) Vamos calcular usando a primeira opção: y = autovalor que se deseja encontrar I = matriz identidade 2×2 A = matriz (1 2) (2 1) (yI – A) = 0 com X diferente de zero Teorema: det(yI-A) = 0 calcular este determinante Da resolução do determinante acima, resulta a equação y^2 – 2y – 3 = 0 cuja solução é y1 = 3 e y2 = -1 (ESTES SÃO OS AUTOVALORES ENCONTRADOS) 2 – ENCONTRAR O AUTOVETOR ASSOCIADO A… Read more »

Gustavo
Visitante
Gustavo

Luisinho, vc poderia me explicar um pouco melhor as passagens: |a b| -> |a-x b| -> (a-x)^2-b^2=0 -> x1=a+b=3 II (V) |b a| |b a-x| x2=a-b [b]- Por que você colocou ‘a-x’ e como chegou aos valores de x1 = a + b e x2 = a – b?[/b] p/ x=x1=a+b |-b b| |b -b| autovetor (1,1) I (V) [b]- Por que você igualou x1 a zero para achar a = -b ? Como você tirou a conclusão por essa matriz que (1,1) é autovetor? Dessa forma não seria (-1,1) ?[/b] p/ x=x2=a-b |b b| |b b| autovetor (1,-1) III… Read more »

uou
Visitante
uou

cara…… que bagunça… chegou um ponto em que parece q vc inventou coisas pra chegar no resultado do gabarito…..

LuisinhoCosta
Visitante
LuisinhoCosta

Autovalores e autovetores Índice do grupo | Página anterior | Próxima página | Introdução / definição | Alguns exemplos | Cálculo de autovalores e autovetores | Introdução / definição (Topo pág | Fim pág) Autovalores e autovetores são conceitos importantes de matemática, com aplicações práticas em áreas diversificadas como mecânica quântica, processamento de imagens, análise de vibrações, mecânica dos sólidos, estatística, etc (na língua inglesa, os termos usuais são eigenvalue e eigenvector. Nesses nomes, há uma combinação de idiomas, pois o prefixo eigen é alemão, significando próprio, característico). Graficamente a idéia básica pode ser vista de uma forma bastante simples.… Read more »

LuisinhoCosta
Visitante
LuisinhoCosta

|a b|
|c d|

a+b=3 -> b=3-a
b+d=3 -> 3-a+d=3 -> d=a

a+b=3 -> a=3-b
a+c=3 -> 3-b+c=3 -> b=c

|a b| -> |a-x b| -> (a-x)^2-b^2=0 -> x1=a+b=3 II (V)
|b a| |b a-x| x2=a-b

p/ x=x1=a+b
|-b b|
|b -b| autovetor (1,1) I (V)

p/ x=x2=a-b
|b b|
|b b| autovetor (1,-1) III (F)