Q4

A imagem do quadrado Q, representado acima na figura à esquerda, por uma transformação linear T: R2→R2 é o losango L representado na figura à direita. Dentre as matrizes abaixo, aquela que pode representar T com respeito à base canônica de R2 é

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Gabarito: A

Solução em breve.

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CAROLINA SILVA ARTEMANvictor coelhoMpoltrlonieriLuiz Recent comment authors
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CAROLINA SILVA ARTEMAN
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CAROLINA SILVA ARTEMAN

T(1,0)=(1,1/2)

T(0,1)=(-1,-1/2)

(x,y)=a(1,0)+b(0,1)

(x,y)=(a,0)+(0,b)

(x,y)=(a,b)

a = x

b= y

T(x,y)= T(a.(1,0))+T(b.(0,1)) = a.T(1,0)+b.T(0,1) = x(1,1/2)+y(-1,-1/2) => B = { (1,1/2), (-1,-1/2) }

1 -1

1/2 1/2

victor coelho
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victor coelho

Penso da seguinte maneira: em Q podemos imaginar os vetores da base euclidiana (1,0) e (0,1) e em L supomos 2 vetores pensando na simetria do losango (1, 1/2) e (-1, 1/2). Ambos “saindo” do ponto (0,0) Na transformação temos: [1 0] [x y] = [1 -1] [0 1] [z w] [1/2 1/2] (multiplicação de matrizes) Logo de cara, percebe-se que a primeira é a matriz identidade e toda multiplicação pela identidade resulta nela mesma. Portanto matriz xyzw = [1 -1] [1/2 1/2]

Mpoltrlonieri
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Mpoltrlonieri

T(x,y)=x*T(1,0)+y*T(0,1)
T(x,y)=x*(1,1/2)+y*(-1,1/2)
T(x,y)=(x,x/2) + (-y,y/2)
T(x,y)=(x-y,1/2(x+y) logo A= [1         -1
                                             [1/2   1/2]

Luiz
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Luiz

Rotação + Contração no eixo Y + Dilatação no eixo X

Anônimo
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Anônimo

É uma rotação + um escalonamento no eixo y.

tsc
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tsc

está muito claro que isso não é uma rotação!

Vivien Rossbach
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Vivien Rossbach

SOLUÇÃO POR ANÁLISE DO GRÁFICO Eis uma “solução-peão” para a questão 4: O quadrado Q é formado por 2 vetores e sua resultante. Estes dois vetores são: Q1 (1,0) Q2 (0,1) Analisando as duas figuras, verifica-se que o losango T é uma transformação típica para o quadrado Q: trata-se de uma rotação em sentido anti-horário. Então, faça assim: Vetor Q1 (1,0) Em Q1, x=1. Em T, rotacionado fica na posição x=1 (não muda) y=0. Em T, rotacionado fica na posição y=1/2 Em Q2, x=0. Em T, rotacionado fica na posição x=-1 y=1. Em T, rotacionado fica na posição y=1/2 Logo,… Read more »

Tad M
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Tad M

Uma transformação linear T está perfeitamente definida quando são conhecidas as imagens dos vetores da base canônica do domínio de T e, nesse caso, as imagens dos vetores da base canônica são, respectivamente, as colunas da matriz canônica de T. O vetor imagem é (1, 1/2) e (1/2, 1) que forma a matriz com 1° linha [ 1 1/2] e 2° linha [1/2 1], cuja transformação T é representada pela letra A.