Q21

Os vetores u, v e w, e são tais que u+v+w=0 , onde é 0 vetor nulo.
Se <x,y> denota o produto escalar entre os vetores x e y, e |v|=|u| = 1 e |w|= √2, o valor de <u,v>+<u,w>+<v,w> é igual a

(A) − 4
(B) − 2
(C) 0
(D) 2
(E) 4

 

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Gabarito: B

Solução em breve.

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Ricardo
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Ricardo

Ótima resolução, porém deve-se ter o cuidado de adotar vetores u e v de modo que o vetor resultante tenha |w|=raiz2, ou seja:

se considerássemos que u = v = (1,0), |u|=1 e |v|=1, no entanto w= – u – v = (-2,0), que resulta em |w|=2.

Em outras palavras, se o problema tivesse dado um valor de |w| diferente de raiz2, e adotássemos u=(1,0) e v=(0,1), não daria a resposta correta.

Rodrigo Lucena
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Rodrigo Lucena

Então, eu não sei se pode fazer isso, já que ele está partindo do pressuposto que os dois vetores (u e v) são ortogonais e só sabemos disso após calcular o ângulo entre os 2 vetores.

Luiz
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Luiz

Ele poderia considerar qualquer vetor. Considerou 0,1 e 1,0 para ficar mais fácil. Serve para qualquer caso. Muito boa resolução!

Fiter
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Fiter

Brocou demais

Thamires
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Thamires

Porque você considerou u=(1,0) e v=(0,1)?

Manoel
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Manoel

Na faculdade.

Gabriela Martins
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Gabriela Martins

Meu caso também, ainda não aprendi nada disso o.o

Alinne Campos
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Alinne Campos

Gente estou no 2° ano do ensino médio e ainda não aprendi todos esses cálculos, sabem como/onde posso aprender?

Rodrigo
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Rodrigo

o seu “-” ta errado… a resposta ta certa, a logica ta errada. O modulo de -w é w, logo sai raiz (2) e não -raiz(2)… o negativo se da ao fato que o angulo entre eles se da pelo ponto em comum de ambos os vetores, ou seja, o angulo correto não é 45 e sim 135 (desenhe, que entenderá melhor).

Jose
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Jose

||u||=1
||v||=1
adotando-se u=(1,0) e v=(0,1), sabe-se que
u+v=-w, portanto w=(-1,-1) , fazendo ++=0-1-1=-2

jeferson_medeiros
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jeferson_medeiros

Como u+v+w=0, então, como não há vetor resultante, eles formam um triângulo. Se for triângulo retângulo => Raiz(2) = Raiz [(1^2)+(1^2)]  => é retângulo Então, no triângulo, como ele e isósceles e retângulo, os ângulos entre u e v = 90°, u e w = 45° e v e w = 45°. Mas estes ângulos são assim, pois ligamos a extremidade de um vetor a base de outro  (por causa da soma), mas para o cálculo do produto escalar precisamos dos ângulos base com base, logo eles passam a ser: u e v = 90°, u e w = 135° e… Read more »

Amanda Mendes
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Amanda Mendes

Seguinte, a soma vetorial u+v+w = 0. Isso significa que a soma de 2 vetores deve ser igual ao inverso do outro vetor. Você considerou 90º entre u e v. Caso tivéssemos considerado outro ângulo(o que não alteraria na soma acima), teria que resultar na mesma coisa?
Obrigada

Anônimo
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Anônimo

Exatamente! Coloque 45 pois é a mesma coisa (valor), porém com sinal trocado! Em termos de cálculo dá no mesmo. Só tem que se ligar no sentido do vetor W. 
Como eu tinha forçado que o vetor W tivesse sentido negativo, usei o 45 mesmo. Mas o correto correto é 135º.

Slack
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Slack

Entendi. Mas na parte do produto escalar eu achei que |W|, deveria ser positivo, já que é valor em módulo de W. Mas vc colocou positivo. Acho que na verdade o angulo é 135 entre U e W, já que CA/H = -1/raiz(2), o cosseno disso é 135. Assim na hora do produto escalar o resultado seria -1. Não seria isso ?

Anônimo
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Anônimo

CA= Cateto adjacente
CO= Cateto oposto
H= Hipotenusa

Slack
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Slack

O que é CA e CO ?

Anônimo
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Anônimo

Resolvi esta questão desta maneira: Lembrando que U+V+W = 0 é uma soma vetorial e não escalar. Se |U|=1, |V|=1 e |W|= raiz(2), então: Se somarmos vetorialmente U+V (com um ângulo de 90 entre eles, para facilitar) obteremos um vetor com módulo = raiz(2). Logo, para que a soma vetorial seja 0, o vetor W teria que apontar para o outro sentido, sendo igual a: – raiz(2). Encontrando o ângulo entre eles, temos que: Entre U e W => cos = CA/H = 1/(-raiz(2)) = 45º. Entre V e W => sen = CO/H = 1/(-raiz(2)), logo o ângulo também… Read more »

Waldir
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Waldir

Quer dizer -2

Waldir
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Waldir

|u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|W|^2+2uv+2vw+2uw
0=1+1+2+2(uv+vw+uw)
uv+vw+uw=-4/2=2