Q27

O vetor n = (1,2,− 3) é perpendicular a um plano α que contém o ponto P(3,2,−1). Os pontos do plano são da forma (x, y, z) ∈ R3, onde os números x, y e z satisfazem a relação
(A) (x-1)/3 = (y-2)/2 = -z-1
(B) x-3 = (y-2)/2 = (-z-1)/3
(C) x + 2y − 3z = 0
(D) 3(x − 1) + 2(y − 2) − (z + 3) = 0
(E) (x − 3) + 2(y − 2) − 3(z + 1) = 0

 

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Gabarito: E

Solução em breve.

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Vitor AlbuquerquevictorLuizAnônimoLucasss19 Recent comment authors
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Vitor Albuquerque
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Vitor Albuquerque

Não é necessário decorar nenhuma fórmula. Sabendo que o produto escalar de 2 vetores ortogonais é igual a 0, e sabendo que qualquer ponto T (X,Y,Z) forma com o ponto P um vetor contido no plano, é só fazer a seguinte operação: n.TP=0
(1,2,-3).(x-3,y-2,z+1)=0
x-3+2(y-2)-3(z+1)=0, que é a equação do plano. Letra E

victor
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victor

Essa é a melhor resposta, analisando o problema, e não decorando a equação do plano qdo é dado 1 ponto pertencente a ele e um vetor ortogonal a ele.

Luiz
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Luiz

Jogando as coordenadas do ponto P contido no plano nas equaçoes abaixo apenas na letra B e E as equações serão verdadeiras, o que para um chute já seria 50% (rsrs). Dai vale lembrar (decoreba) que a equação de um plano, dados um ponto do plano e um vetor normal trata-se de:

Xn(x-Xo) + Yn(y-Yo) + Zn(z-Zo) = 0

Xn, Yn, Zn coordenadas do vetor normal
Xo, Yo, Zo coordenadas do ponto pertencente ao plano

Só não entendo pq essa questão não consta como assunto Geometria Analítica, mas sim como Alg. Linear…

Anônimo
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Anônimo

Esta questõ fica fácil se soubermos a equação do plano: nx(x-xo) + ny(y-yo) + nz(z-zo) = 0
Onde :
nx = componente x do vetor perpendicular ao plano
ny = componente y do vetor perpendicular ao plano
nz = componente z do vetor perpendicular ao plano
Neste caso temos n =(nx,ny,nz)=(1,2,-3)

Então temos: 1(x-xo) + 2(y-yo) – 3(z-zo)= 0
No enunciado da questão é dito que o plano em questão contém o ponto P(3,2,-1). Então substituímos os pontos e obtemos:

1(x-3) + 2(y-2) – 3(z+1) = 0

Resposta: Letra E

Lucasss19
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Lucasss19

Eu não entendi o porque desse artifício. A resposta pode até bater, mais não entendi a lógica. Se puder ajudar agradeço.

Rafael
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Rafael

Se fizermos a diferença de um ponto qualquer do plano (x,y,z) pelo ponto P que é fornecido, e postereiormente fizermos o produto escalar (produto interno) pelo vetor perpendicular, o resultado será zero, então fica:
(x-3),(y-2),(z+1)*(1,2,-3)=(x-3)+2(y-2)-3(z+1).
Letra E