Q60 e Q61

Suponha que uma mancha de óleo no mar se espalhe circularmente de forma que a taxa na qual o raio do círculo da mancha varia em relação ao tempo seja de 1,5 km/h. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

60
Se, em um determinado instante, a área da superfície da mancha de óleo é igual a 25π km2 , então 2 horas depois ela será superior a 60π km2.

61
No instante em que o raio do círculo da mancha for igual a 1 km, a taxa na qual a área da superfície da mancha varia com o tempo é inferior a 8 km2/h.

Ver Solução
Gabarito: 60-C; 61-E

60 –

Sendo a área do círculo:

A = π.r²

dA = 2.π.r dr

Dividindo por dt:

dA/dt = 2.π.r dr/dt

Sendo dr/dt = 1,5, temos:

dA/dt = 3.π.r                 (Equação 1)

dA = 3.π.r dt

Sendo r = r0 + 1,5 t

dA = 3.π. (r0 + 1,5 t) dt

Para A = 25π , temos: 25π = π.r0². Portanto r0 = 5 km

Integrando:

\int \ dA = \int 3 \pi (5+1,5 t)\ dt

Sendo que a área varia de 25π a A e o tempo varia de 0 a 2. Temos:

A – 25π = 3.π.(5.2+1,5.2²/2)

A = 25π+39π

A = 64π km²

 

61 –

Da Equação 1 acima, temos para r = 1km:

dA/dt = 3.π.1

dA/dt = 9,42 km²/h

 


3
Deixe um comentário

avatar
2 Comment threads
1 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
2 Comment authors
StefancamargoMessias Recent comment authors
newest oldest most voted
Stefancamargo
Visitante
Stefancamargo

é… o que conta tbm é a agilidade.  A primeira resolução é bonita, mas um tanto ineficiente

Messias
Visitante
Messias

Deriva a função área que é f(t)=pi(r+1,5t)^2
f´(t)=3pi+3=9,38

Messias
Visitante
Messias

pi.r^2=25pi
r=5
pi.(r+1,5*2)^2=pi.8^2
64pi