Q62 a Q64

Na figura acima, o ponto P representa uma plataforma de petróleo em alto-mar, situada a 6 km do ponto Q, na costa. Deseja-se instalar um oleoduto ligando a plataforma a uma refinaria, representada pelo ponto R, também na costa, situado a 18 km do ponto Q. O trecho de P a Q está todo no mar e o de Q a R, em terra. Os segmentos PQ e QR são perpendiculares. O custo para instalação de dutos subaquáticos é igual a R$ 150.000,00 por km e para os dutos terrestres, R$ 120.000,00 por km. Construir o oleoduto ligando P a R diretamente, todo subaquático, é muito dispendioso, o mesmo ocorrendo com a construção seguindo os trechos PQ e QR. Dessa forma, busca-se uma solução alternativa, que é uma composição de um trecho subaquático e de um trecho terrestre. Considerando essas informações e que A seja um ponto de encontro dos dutos subaquático e terrestre, sobre o segmento QR, julgue os itens que se seguem.

62
O custo mínimo para a instalação do oleoduto ligando a plataforma à refinaria é superior a R$ 2.500.000,00.

63
O custo máximo para a instalação de um oleoduto ligando a plataforma à refinaria é 15% maior que o custo mínimo.

64
O comprimento do duto subaquático que minimiza os custos da instalação do oleoduto é superior a 9 km.

Ver Solução
Gabarito: 62-C; 63-E; 64-C

Considerando as distâncias x e y da Figura abaixo:

62 –

Temos que y = (x²+36)1/2 . E portanto, o caminho total percorrido pelo oleoduto é: y+(18-x). Sendo assim, o custo total será de:

C = 150000.y + 120000.(18-x)

C = 150000.(x²+36)1/2 + 120000.(18-x)

Para encontrar o valor mínimo do custo, devemos derivar a expressão do custo com relação a x e igualar a 0.

dC/dx = 150000. 1/2 . (x²+36)-1/2 . 2x – 120000 = 0

150000.  (x²+36)-1/2 . x = 120000

5x/4 = (x²+36)1/2

25x²/16 = x²+36

25x² = 16x² + 576

9x² = 576

x² = 64

x = 8 km

 

Portanto y = 10 km e o caminho total percorrido será de 10 km em mar e 10 km em terra (18 – x = 18 – 8 = 10 km).

Sendo assim, o custo mínimo será de: 10 . 150000,00 + 10 . 120000,00 = 2700000,00

63 –

O custo máximo ocorre quando o caminho é PQR e portanto, temos 6km no mar e 18 km em terra. Então o custo será:

6 . 150000,00 + 18 . 120000,00 = 3060000,00

3060000,00/2700000,00 = 1,133

 

E portanto é 13,3% superior do que o custo mínimo.

 

64 –

Conforme visto no exercício 62, temos que o comprimento do duto subaquático é de 10 km.


2
Deixe um comentário

avatar
2 Comment threads
0 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
2 Comment authors
PedroMessias Recent comment authors
newest oldest most voted
Pedro
Visitante
Pedro

Achei bem trabalhosa

Messias
Visitante
Messias

Senhores,
Achei a função custo e devivei e igualei a zero para achar o valor mínimo. Achei 8km terrestre e 10 km marítimo. Assim o custo mínimo é dois milhões e setessentos mil.
 
Para o custo máximo considera 6km aquático e 18 terrestre. Temos um custo de 3,06 milhões.
dividindo pelo custo mínimo (2,7 milhões)) fica 13% maior.