Q76 a Q79

A tabela abaixo apresenta alguns valores de exp(– u).

A velocidade V de uma molécula em um gás é uma variável aleatória cuja função de distribuição acumulada é dada por:

P(V \leq v)= 1 - exp(-bv^{2}), se v > 0 e P(V < v)= 0, se v \leq 0, em que b é uma constante real e positiva dada em função da temperatura, da massa molecular e da constante de Boltzman. A energia cinética da molécula é dada por E = aV2, em que a é uma constante que depende da massa molecular. Com base nessas informações e considerando os valores da tabela acima, julgue os itens a seguir.

76
A energia cinética esperada é igual a \frac{b}{a}.

77
A probabilidade de a velocidade estar entre (\frac{1}{b})^{0,5} e (\frac{2}{b})^{0,5} é inferior a 0,25.

78
A probabilidade de a energia cinética ser inferior a \frac{2a}{b}  é maior do que 0,80.

A moda da distribuição da velocidade é igual a \frac{1}{2b} .

Ver Solução
Gabarito: 76-E; 77-C; 78-C; 79-E

Solução em breve.


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André Chalella Das NevesnortonmecanhicalMasterRS Recent comment authors
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André Chalella Das Neves
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André Chalella Das Neves

Nossa, bem lembrado! Tinha feito assim tbm sem nem perceber o deslize.

O norton abaixo encontrou formalmente a média, mas é complicado fazê-lo na prova. Acho que o jeito correto de fazer esse item seria pela análise dimensional, mesmo, como apontado pelo Mateus.

Ainda bem que a análise pela mediana (errada) também nos leva a ver que as dimensões estão erradas.

norton
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norton

76) Como já mencionaram, a função de distribuição de probabilidade acumulada vale F(v) = 1-exp(-bV^2) , logo a função densidade de probabilidade é f(V) = F'(V)=2bV.exp(-bV^2). Segue da definição o valor esperado da energia cinética: E [E_c] = E [aV^2] = a.E [V^2] = a.integral_[V^2.f(V) dV] , no intervalo de 0–>oo Portanto, E [E_c] = a.integral_0–>oo_[V^2.(2bV.exp(-bV^2)) dV] Será então usada a integração por partes: integral_0–>oo_[p.q’] = [p.q]_0–>oo – integral_0–>oo_[p’.q] Onde p = V^2 e q’ = 2bV.exp(-bV^2) Logo p’ = 2V e q = – exp(-bV^2) Substituindo na fórmula da integração por partes: E [E_c] = a.[-V^2.exp(-bV^2)]_0–>oo – a.integral_0–>oo_[-2V.exp(-bV^2) dV]… Read more »

mecanhical
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mecanhical

Este conceito que usaste é o de mediana.
A média é a integral de -oo até +00 de x.f(x).dx
donde f(x)= d(Fx)/dx

Anônimo
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Anônimo

Eu não consegui fazer, mas dá pra dar um chute bem direcionado. É de se supor que se a energia cinética é proporcional à constante “a”, então não faz muito sentido que o valor esperado da energia seja inversamente proporcional a “a”. Concorda?

MasterRS
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MasterRS

76 -> Errada!

MasterRS
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MasterRS

A energia cinética esperada é aquela onde v dá um valor de densidade de probabilidade de 0,5 (média)…Portanto: 0,5 = 1 – (e ^(-bv^2)) …Olhando na tabela, bv^2 = 0,7…. Ec = av^2 => Ec = 0,7a/b

Prati
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Prati

Olá Leletim, se você plotar essa função, verá que ela tende a 1 no infinito.
Sua resolução utilizando a derivada encontra um ponto, que ao ser comparado ao gráfico plotado, não representa um máximo nem local, nem global.

Leletim
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Leletim

Não consegui a 76. Alguém fez?

Leletim
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Leletim

79 – Moda –> quando o valor da densidade de probabilidade é máximo, ou seja, f(v) = F'(v) é máximo. f(v) = F'(v) = 2bv*exp(-bv^2) 
f'(v) = 2b*exp(-bv^2)+2bv*(-2bv)*exp(-bv^2)=0
v=(1/2b)^0,5
Errado

Leletim
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Leletim

78 – P(0<V<(2/b)^0,5) = F(
(2/b)^0,5)-F(0)=1-exp(-b*2/b)=1-exp(-2)=1-0,1353=0,8647
C

Leletim
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Leletim

78-  P(0<V<
(2/b)^0,5) = F((2/b)^0,5)-F(0)= 1-exp(-b*2/b) = 1-exp(-2)=1-0,1353=0,8647
C

Leletim
Visitante
Leletim

77 – P((1/b)^0,5 <= V <= 
(2/b)^0,5) = F(
(2/b)^0,5)-F(
(1/b)^0,5 ) = [1-exp(-b*2/b)-1+
exp(-b*1/b)=exp(-1)-exp(-2) = 0,3679-0,1353=0,2326
C