Q83 a Q85

Considere a equação  x + 2y + 32 = 9, que representa, em  R3, o plano α. Uma equação vetorial para esse plano pode ser escrita na forma X = P + sU + tV, em que P é um ponto de α, U e V são vetores diretores de α — U e V são não-nulos e paralelos a α, mas não são paralelos entre si —, s e t são números reais.

As equações correspondentes às coordenadas na equação vetorial são chamadas de equações paramétricas de α. Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.

83
Os vetores U = \begin{bmatrix} -3 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} e V = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} são vetores diretores do plano α.

84
Uma equação vetorial de α é \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix}  -6 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ -1  \end{bmatrix}.

85
As equações x = 6 – 3s + 3t,  y = 7–5s + 2t e z = 1 – s – t são equações paramétricas do plano α.

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Gabarito: 83-E; 84-E; 85-E

Solução em breve.


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adrianpoaLeonardoGustavo B StringariIllidan Recent comment authors
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adrianpoa
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adrianpoa

Consultei a prova no site do cespe, a equaçao do plano é x+2y+32=9.

Leonardo
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Leonardo

Pessoal, uma dúvida para a questão 83: O vetor normal ao plano é N(1,2,3). Correto? Os vetores U e V são ortogonais ao vetor N, pois pelo produto escalar: U(-3,3,-1) . N(1,2,3) = -3+6-3=0 => Ortogonais V(3,0,-1) . N(1,2,3) = 3+0-3=0 => Ortogonais Se os vetores U e V são ortogonais ao vetor N, que por sua vez é perpendicular ao plano, os vetores U e V são PARALELOS ao plano. Correto? Pela definição: “Diz-se que um determinado vetor, não-nulo, é um vetor diretor de uma dada reta se tiver a mesma direção desta reta” => Paralelo a reta! Se… Read more »

Gustavo B Stringari
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Gustavo B Stringari

O Illidan escreveu ortogonal ao plano, mas na verdade ele demonstrou ser ortogonal ao vetor normal, ou seja, paralelo ao plano.

Anônimo
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Anônimo

Muito pelo contrário. Se os vetores U e V são ortogonais ao plano, então eles NÃO são vetores diretores.

Illidan
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Illidan

Considerando um erro de digitação no enunciado, temos a equação do plano: x+2y+3z=0
Logo o vetor normal é: N=(1,2,3).
Fazendo o produto escalar:
(1,2,3).(-3,3,-1) = -3+6-3 = 0 –> U é ortogonal ao plano
(1,2,3).(3,0,-1) = 3+0-3 = 0 –> V é ortogonal ao plano
E como U e V não são paralelos entre si, eles são vetores diretores do plano alfa.
Logo a afirmativa 83 está correta.

Rccks
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Rccks

só lembrando q esta questao tem um erro de digitacao, onde se le x + 2y + 32 é x + 2y + 3Z

Faelcosta
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Faelcosta

Na 84 e 85, basta verificar que a coordenada de Z do ponto do plano que foi dada é diferente de zero. Como a eq do plano dada apresenta zero na coordenada Z, as questões estão erradas.

Jrog
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Jrog

Seja F a equaçao do plano.

O vetor (dF/dx,dF/dy,dF/dz) é normal ao plano e vale N=(1,2,0).

83 se U e V pertencem ao plano são perpendiculares a N, o que nao se verifica pelo produto escalar –> E.

84 mesmo caso da 83, um dos vetores diretores não é perpendicular a N, portanto não pode ser a equação descrita –> E.

85 substituindo x e y parametricos na equação x+2y+32=9 não se verifica a igualdade –> E.