Q66

Uma base para o espaço-solução do sistema homogêneo de duas equações lineares a 4 incógnitas

\begin{cases} 2x + 2y + z + w = 0 \\ x + y - z + w = 0 \end{cases} é

(A) \left\{ \left(-1,1,0,0\right), \left(-\frac{2}{3},0,\frac{1}{3},1\right)\right\}.
(B) \left\{ \left(-1,1,0,0\right), \left(-\frac{2}{3},0,\frac{1}{3},1\right), \left(-\frac{5}{3},1,\frac{1}{3},1\right)\right\}.
(C) {(-1, 1, 0, 0)}.
(D) {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}.
(E) {(0, 0, 0, 0)}.

Ver Solução
Gabarito: A

Solução em breve.

 

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Maria Carolina
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Maria Carolina

Uma base para para esse espaço solução deve ter dimensão 2. Porque existem apenas 2 variáveis independentes. Logo a resposta é a letra A.

Dan Luanda
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Dan Luanda

Uma forma bastante fácil de fazer (aliás, de acertar, não de fazer):

DimV = n – posto

2 2  1 1     =    2 2    1    1 
1 1 -1 1           0 0 -3/2 1/2

n=4
posto=2

DimV = 4-2=2 => Só a letra A é base de dimensão 2.

Matheus Maia
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Matheus Maia

Um outro método de resolver:

2  2   1  1    ~    0  0  3  -1    ~   0 0  1  -1/3   daí:  z – w/3 = 0  ~ z=w/3
1  1  -1  1          1  1  -1  1         1 1  0   2/3           x+y+2/3w = 0 ~ x=-y-2/3w

(x,y,w,z)=(-y-2/3w , y , w/3, w)

(x,y,w,z)= y(-1,1,0,0) + w(-2/3, 0 , 1/3, 1)

R:{(-1,1,0,0), (-2/3, 0, 1/3, 1)

RexKong
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RexKong

É isso mesmo.

RexKong
Visitante
RexKong

É isso mesmo.

Paulor
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Paulor

2x + 2y + z + w= 0      (1) x + y – z + w= 0          (2) x = – y + z – w            (3)       substitui em (1) -2y +2z -2w +2y + z + w = 0 w = 3z               substitui em (3) x = -y – 2z ( x , y , z , w) (-y – 2x, y , z , 3z)        pode ser escrito como: (-y , y , 0 , 0) + (-2z , 0 , z, 3z) = y(-1, 1, 0, 0) + z(-2, 0, 1, 3) se… Read more »